IN-BPrimitivisation et calcul intégral

Aires et sommes de Riemann

Idée directrice

Acte III, la mesure. Une aire entre deux courbes est une intégrale de leur différence ; on la calcule en fonction d'un paramètre $\lambda$ puis on passe à la limite. Autre visage du même chapitre : une somme $\frac1n\sum f\!\big(\tfrac kn\big)$ est une somme de Riemann qui converge vers $\int_0^1 f$ — le pont entre discret et continu.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer l'aire $A(\lambda)$ » ; « déterminer $\lim A(\lambda)$ » ; « reconnaître une somme de Riemann ».

Sujet principal

Exercice 6 — aire limite et somme de Riemann

2 questionsCorrigé masqué

Pour $\lambda>1$ , calculer l'aire $A(\lambda)$ du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$ ( $f(x)=\tfrac1x$ ), l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=\lambda$ . Déterminer $\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}A(\lambda)$ .
Soit $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}$ . Reconnaître une somme de Riemann et déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n$ .

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1. Sur $[1,\lambda]$ , $f(x)=\tfrac1x\ge0$ . Une primitive de $f$ sur $]0,+\infty[$ est $\ln x$ . L'aire de la partie du plan délimitée par $\mathcal{C}_f$ , l'axe des abscisses et les droites $x=1$ , $x=\lambda$ vaut donc

A(\lambda)=\int_1^\lambda\frac{\dd x}{x}=\big[\ln x\big]_1^\lambda=\ln\lambda.

Quand $\lambda\to+\infty$ , $A(\lambda)=\ln\lambda\to+\infty$ : l'aire n'est pas bornée.

2. On factorise par $\tfrac1n$ :

S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\left(\frac kn\right)^2}=\frac1n\sum_{k=1}^{n} g\!\left(\frac kn\right),\quad g(t)=\frac{1}{1+t^2}.

C'est une somme de Riemann de $g$ sur $[0,1]$ . Une primitive de $g$ est $\arctan t$ , d'où

\lim_{n\to+\infty}S_n=\int_0^1\frac{\dd t}{1+t^2}=\big[\arctan t\big]_0^1=\frac{\pi}{4}.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 03

Drill IN-B.1 — aire entre deux courbes

1 questionCorrigé masqué

Calculer l'aire du domaine délimité par $y=x$ et $y=x^2$ pour $x\in[0,1]$ .

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Sur $[0,1]$ , $x\ge x^2$ . L'aire de la partie du plan entre $y=x$ et $y=x^2$ s'obtient via une primitive de $x-x^2$ : $A=\int_0^1(x-x^2)\,\dd x=\left[\tfrac{x^2}2-\tfrac{x^3}3\right]_0^1=\tfrac12-\tfrac13=\tfrac16$ u.a.

Entraînement 02 / 03

Drill IN-B.3 — encadrement d'une intégrale

1 questionCorrigé masqué

Montrer que $\dfrac12\le\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\dd x}{1+x^2}\le1$ sans la calculer.

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Montrons que $\tfrac12\le\int_0^1\tfrac{\dd x}{1+x^2}\le1$ . Sur $[0,1]$ , $1\le1+x^2\le2$ , par suite $\tfrac12\le\tfrac1{1+x^2}\le1$ . En intégrant sur $[0,1]$ , il en résulte l'encadrement demandé. Conclusion : $\tfrac12\le\int_0^1\tfrac{\dd x}{1+x^2}\le1$ (valeur exacte $\tfrac\pi4\approx0{,}785$ ).

Entraînement 03 / 03

Drill IN-B.4 — intégrale et signe

1 questionCorrigé masqué

Calculer $\displaystyle\int_{0}^{2}(x-1)\,\dd x$ et interpréter le résultat en termes d'aires algébriques.

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Une primitive de $x-1$ est $\tfrac{x^2}2-x$ . On a $\left[\tfrac{x^2}2-x\right]_0^2=(2-2)-0=0$ . L'aire de la partie sous l'axe sur $[0,1]$ compense celle au-dessus sur $[1,2]$ : intégrale nulle.

Méthode / Automatismes

Aire entre $\mathcal{C}_f$ et l'axe sur $[a,b]$ (avec $f\geq0$ ) : $\displaystyle\int_a^b f$ . Entre deux courbes : $\displaystyle\int_a^b|f-g|$ (étudier le signe de $f-g$ ).
Aire en fonction d'un paramètre $\to$ étudier la limite (finie ou non) et interpréter.
Somme de Riemann : $\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^n g\!\left(\dfrac kn\right)\xrightarrow[n\to\infty]{}\displaystyle\int_0^1 g$ . Repérer le $\tfrac1n$ en facteur et le motif $\tfrac kn$ .
Primitives utiles : $\int\frac{\dd x}{x}=\ln|x|$ , $\int\frac{\dd x}{1+x^2}=\arctan x$ , $\int\frac{u'}{u}=\ln|u|$ , $\int u'\e^{u}=\e^{u}$ .

Pièges classiques

Intégrer $f-g$ sans étudier son signe (l'aire est l'intégrale de la valeur absolue). Oublier le facteur $\tfrac1n$ qui identifie la somme de Riemann. Confondre les bornes $[0,1]$ de la somme de Riemann avec celles de l'énoncé initial.