Suite d'intégrales, primitive et aire — $f(x)=x\ln x$

1. Sur $]0,1]$, $t^n e^{t}>0$, et la fonction est continue sur $[0,1]$ : l'intégrale $u_n$ est donc strictement positive. Par ailleurs $t\mapsto e^{t}$ est croissante, donc pour tout $t\in[0,1]$, $e^{t}\le e^{1}=e$.

2. $0<u_n\le e\displaystyle\int_{0}^{1}t^n\,dt=e\Bigl[\dfrac{t^{n+1}}{n+1}\Bigr]_{0}^{1}=\dfrac{e}{n+1}$. Comme $\dfrac{e}{n+1}\to 0$, par encadrement $\lim u_n=0$.

3. Intégration par parties. Dans $u_{n+1}=\displaystyle\int_0^1 t^{n+1}e^{t}\,dt$, poser $v(t)=t^{n+1}$ et $w'(t)=e^{t}$, d'où $v'(t)=(n+1)t^{n}$ et $w(t)=e^{t}$. Alors $u_{n+1}=\bigl[t^{n+1}e^{t}\bigr]_0^1-(n+1)\displaystyle\int_0^1 t^{n}e^{t}\,dt$. Le crochet vaut $1^{n+1}e^{1}-0=e$. On obtient $u_{n+1}=e-(n+1)\,u_n$.

4. Aire. Une primitive de $f(x)=x\ln x$ s'obtient par IPP : $F(x)=\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}$. L'aire de $S$ se calcule comme somme/différence d'intégrales de $|f(x)-x|$ et $|f(x)+x|$ sur $[1/e,1]$, selon la position relative de la courbe et des droites $y=\pm x$.

5. Somme de Riemann. $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n}f\bigl(\tfrac{k}{n}\bigr)$ est une somme de Riemann de $f$ sur $[0,1]$. Par continuité de $f$ sur $[0,1]$ (y compris en $0$ par prolongement), $\lim S_n=\displaystyle\int_0^{1}f(t)\,dt=\Bigl[\dfrac{t^2}{2}\ln t-\dfrac{t^2}{4}\Bigr]_0^{1}=-\dfrac14$ (limite en $0$ nulle par croissances comparées).