IN-CPrimitivisation et calcul intégral

Suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx$ — primitive et aire

Idée directrice

Forme attestée en Bac Sciences expérimentales, session de contrôle 2019 : suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx$ , primitive de $x\mapsto\ln(x+1)$ , intégration par parties, $I_2$ lue comme aire.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« $I_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx$ »

« $h$ primitive de $\ln(x+1)$ »

« Intégration par parties »

« $I_2$ est une aire »

Sujet principal

Exercice — suite d'intégrales $I_n$ (esprit SE contrôle 2019)

5 questionsCorrigé masqué

Pour tout entier $n\ge 0$ , on pose $I_n=\displaystyle\int_{0}^{1} x^n\ln(x+1)\,\mathrm{d}x$ . On note $(C)$ la courbe de $x\mapsto x^2\ln(x+1)$ sur $[0,1]$ . On travaille ici le calcul d'intégrale, les primitives et, le cas échéant, les sommes associées.

Montrer que $I_n>0$ pour tout $n\ge 0$ .
Soit $h$ définie sur $]-1,+\infty[$ par $h(x)=(x+1)\ln(x+1)-x$ . Montrer que $h$ est une primitive de $x\mapsto\ln(x+1)$ sur $]-1,+\infty[$ .
À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_1$ .
En utilisant une intégration par parties avec la primitive $h$ , établir une relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$ .
En déduire la valeur de $I_2$ . Interpréter $I_2$ comme l'aire de la région limitée par $(C)$ , l'axe des abscisses, entre $x=0$ et $x=1$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Sur $[0,1]$ , $x^n\ge 0$ et $\ln(x+1)\ge 0$ , avec $\ln(x+1)>0$ sur $]0,1]$ : l'intégrande n'est pas nulle, donc l'intégrale $I_n$ est strictement positive.

2. $h'(x)=\ln(x+1)+(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}-1=\ln(x+1)$ . Donc $h$ est une primitive de $\ln(x+1)$ .

3. IPP avec $u=\ln(x+1)$ , $v'=x$ : $I_1=\bigl[\frac{x^2}{2}\ln(x+1)\bigr]_0^1-\frac12\int_0^1\frac{x^2}{x+1}\,dx$ . Avec $\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$ , on obtient $I_1=\frac14$ .

4. IPP sur $I_{n+1}$ avec $u=x^{n+1}$ et $v'=\ln(x+1)$ ( $v=h$ ) conduit à une relation de récurrence entre $I_{n+1}$ et $I_n$ (corrigé 2019).

5. Pour $n=1$ , $I_2=-\frac{5}{18}+\frac{2}{3}\ln 2$ . Comme $x^2\ln(x+1)\ge 0$ sur $[0,1]$ , $I_2$ est l'aire sous $(C)$ entre $0$ et $1$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill IN-C.1 — primitive de $\ln(x+1)$ et $I_0$

3 questionsCorrigé masqué

Soit $h(x)=(x+1)\ln(x+1)-x$ sur $]-1,+\infty[$ et $I_0=\displaystyle\int_0^1\ln(x+1)\,\mathrm{d}x$ . Exercice centré sur une intégrale et sa primitive.

Montrer que $h$ est une primitive de $\ln(x+1)$ .
Calculer l'intégrale $I_0$ .
Interpréter $I_0$ comme une aire.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $h'(x)=\ln(x+1)+(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}-1=\ln(x+1)$ . Donc $h$ est une primitive de $\ln(x+1)$ sur $]-1,+\infty[$ .

2. L'intégrale $I_0$ se calcule par la primitive $h$ : $I_0=[h(x)]_0^1=h(1)-h(0)=(2\ln 2-1)-0=2\ln 2-1$ .

3. Comme $\ln(x+1)\ge 0$ sur $[0,1]$ , la valeur $I_0$ est l'aire de la région située sous la courbe de $\ln(x+1)$ entre les abscisses $0$ et $1$ . On a bien $I_0>0$ car $\ln 2>\frac12$ .

Entraînement 02 / 02

Drill IN-C.2 — IPP pour $I_1$

3 questionsCorrigé masqué

On pose $I_1=\displaystyle\int_0^1 x\ln(x+1)\,\mathrm{d}x$ . Exercice centré sur une intégrale et sa primitive.

Justifier l'existence de l'intégrale $I_1$ .
Calculer $I_1$ par intégration par parties.
Conclure sur le signe de $I_1$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. La fonction $x\mapsto x\ln(x+1)$ est continue sur le segment $[0,1]$ , donc l'intégrale $I_1$ existe (intégrale de Riemann d'une fonction continue).

2. Intégration par parties : $u=\ln(x+1)$ , $v'=x$ , d'où $u'=\frac{1}{x+1}$ , $v=\frac{x^2}{2}$ . Alors $I_1=\bigl[\frac{x^2}{2}\ln(x+1)\bigr]_0^1-\frac12\int_0^1\frac{x^2}{x+1}\,dx$ . On décompose $\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$ , ce qui donne $I_1=\frac14$ .

3. $I_1=\frac14>0$ , cohérent avec le fait que l'intégrande $x\ln(x+1)$ est strictement positive sur $]0,1]$ .

Méthode / Automatismes

Identifier une primitive de $\ln(x+1)$ avant toute IPP sur $I_n$ .
Pour $I_1$ , dériver le logarithme et intégrer la puissance.
Aire $=$ intégrale lorsque l'intégrande est positive.

Pièges classiques

Oublier le crochet en $0$ . Confondre la primitive de $\ln(x+1)$ avec celle de $x\ln(x+1)$ .

Suite d'intégrales In=∫01xnln⁡(x+1) dxI_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dxIn​=∫01​xnln(x+1)dx — primitive et aire

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx$ — primitive et aire