SU-ESuites réelles

Suite récurrente un+1 = 1/un + un/2 — monotonie et convergence

Idée directrice

Pour $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=\dfrac1x+\dfrac x2$ et $u_0=2$ , on prouve par récurrence $u_n\ge 2$ , puis que la suite est décroissante et minorée, donc convergente ; la limite vérifie $f(l)=l$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« suite (un) est décroissante »

« décroissante et minorée, donc elle converge »

« un+1 = f(un) »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}+\dfrac{u_n}{2}$ (esprit bac info 2015 principale).

Montrer par récurrence que pour tout $n$ , $u_n\ge 2$ .
Montrer que $(u_n)$ est décroissante. En déduire qu'elle converge.
Soit $f(x)=\dfrac1x+\dfrac x2$ sur $]0,+\infty[$ . En utilisant $u_{n+1}=f(u_n)$ et la continuité de $f$ , déterminer $\lim u_n$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $u_0=2\ge 2$ . Si $u_n\ge 2>0$ alors $u_{n+1}-2=\dfrac{(u_n-2)^2}{2u_n}\ge 0$ donc $u_{n+1}\ge 2$ (corrigé 2015).

2. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{(2-u_n)(2+u_n)}{2u_n}\le 0$ car $u_n\ge 2$ . Donc décroissante. Décroissante et minorée par $2$ ⇒ convergente (corrigé : « décroissante et minorée, donc elle converge »).

3. $u_{n+1}=f(u_n)$ et $f$ continue en $l=\lim u_n>0$ ⇒ $f(l)=l$ ⇒ $\dfrac1l+\dfrac l2=l$ ⇒ $2+l^2=2l^2$ ⇒ $l^2=2$ ⇒ $l=\sqrt{2}$ (car $l>0$ ).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill SU-E.1 — Inégalité un ≥ 2

1 questionCorrigé masqué

En admettant $u_n\ge 2>0$ pour la suite définie par $u_{n+1}=\frac1{u_n}+\frac{u_n}2$ , développer $u_{n+1}-2$ et montrer que $u_{n+1}-2=\dfrac{(u_n-2)^2}{2u_n}\ge 0$ (étape clé de la récurrence $u_n\ge 2$ du corrigé 2015).

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

$u_{n+1}-2=\dfrac1{u_n}+\dfrac{u_n}2-2=\dfrac{2+u_n^2-4u_n}{2u_n}=\dfrac{(u_n-2)^2}{2u_n}$ . Le numérateur est un carré et le dénominateur $2u_n>0$ , donc $u_{n+1}-2\ge 0$ soit $u_{n+1}\ge 2$ . C'est l'hérédité de la récurrence du corrigé bac info 2015 principale, avant de conclure que la suite est décroissante et minorée.

Méthode / Automatismes

Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ en factorisant.
Limite = point fixe de $f$ une fois la convergence établie.

Pièges classiques

Conclure $l=-\sqrt{2}$ ; oublier de prouver $u_n>0$ pour $f$ .