Masar
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Bac Tunisie
Mathématiques/FR-D
Entraîner la reconnaissance
FR-DFonctions réciproques

Bijection et fonction réciproque g = f⁻¹

Idée directrice

Montrer qu'une fonction f:I→Jf:I\to J est une bijection (continue, strictement monotone), introduire la fonction réciproque g=f−1g=f^{-1}, en donner une expression, et étudier g′g' ou g(x)=xg(x)=x.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« f réalise une bijection »

« fonction réciproque de f »

« k la fonction réciproque de h »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Soit ff continue et strictement monotone sur un intervalle II (esprit m-c2-03).

  1. Rappeler le théorème qui assure que ff réalise une bijection de II sur J=f(I)J=f(I).
  2. Soit gg la fonction réciproque de ff. Que vaut g(f(x))g(f(x)) pour x∈Ix\in I ? et f(g(y))f(g(y)) pour y∈Jy\in J ?
  3. Si gg est dérivable en y0=f(x0)y_0=f(x_0) avec f′(x0)≠0f'(x_0)\neq 0, rappeler la formule de g′(y0)g'(y_0).
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle II réalise une bijection de II sur J=f(I)J=f(I) (théorème de la bijection — m-c2-03 Q2a).

2. g∘f=idIg\circ f=\mathrm{id}_I et f∘g=idJf\circ g=\mathrm{id}_J par définition de la fonction réciproque g=f−1g=f^{-1}.

3. g′(y0)=1f′(x0)=1f′(g(y0))g'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}=\dfrac{1}{f'(g(y_0))} (formule classique de la dérivée de la réciproque — m-c2-03 étudie aussi g′g').

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill FR-D.1 — Équation g(x) = x

1 questionCorrigé masqué

Le devoir m-c2-03 demande de montrer que g(x)=xg(x)=x admet une unique solution α\alpha. Quelle propriété de gg (liée à g′g') utilise-t-on typiquement, et pourquoi α\alpha est-il aussi point fixe de ff ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Si 0<g′(x)≤m<10<g'(x)\le m<1 (ou par étude du signe de g(x)−xg(x)-x), l'équation g(x)=xg(x)=x admet une unique racine α\alpha. Comme g=f−1g=f^{-1}, g(α)=αg(\alpha)=\alpha implique f(α)=αf(\alpha)=\alpha : même point fixe. C'est le raisonnement du devoir m-c2-03 (Q3b : solution unique α∈I\alpha\in I pour g(x)=xg(x)=x).

Méthode / Automatismes
  • Toujours préciser II et J=f(I)J=f(I) avant d'écrire gg.
  • Courbes de ff et gg symétriques par rapport à y=xy=x.
Pièges classiques

Confondre g=1/fg=1/f et g=f−1g=f^{-1} ; appliquer g′g' si f′=0f'=0.