DR-ADérivabilité

Dérivabilité en un point, nombre dérivé et tangente

Idée directrice

Le scénario type consiste à étudier la dérivabilité de $f$ en un point $a$ en calculant les taux d'accroissement à gauche et à droite : $\tau_g = \lim_{h\to0^-}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et $\tau_d = \lim_{h\to0^+}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Si $\tau_g = \tau_d = \ell$ , alors $f'(a)=\ell$ et la tangente en $(a,f(a))$ a pour équation $y = f(a) + \ell(x-a)$ . Si $\tau_g \neq \tau_d$ , $f$ n'est pas dérivable en $a$ (mais peut être continue), et le graphe présente un coin ou une demi-tangente verticale selon les cas.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Étudier la dérivabilité de $f$ en $x_0 = \ldots$ » ; « calculer $\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ » ; « la courbe admet-elle une tangente en ce point ? »

Sujet principal

Exercice 1 — dérivabilité en un point et tangente

4 questionsCorrigé masqué

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 2 & \text{si } x < 1 \\ \sqrt{x-1}\,(2-x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}

Vérifier que $f$ est continue en $x_0 = 1$ .
Calculer le taux d'accroissement à gauche $\tau_g = \lim_{h\to0^-}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ .
1. Exprimer $f(1+h)$ pour $h < 0$ .
2. Simplifier et conclure sur $\tau_g$ .
Calculer le taux d'accroissement à droite $\tau_d = \lim_{h\to0^+}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ .
1. Exprimer $f(1+h)$ pour $h > 0$ .
2. Simplifier et conclure sur $\tau_d$ .
$f$ est-elle dérivable en $x_0 = 1$ ? Si oui, écrire l'équation de la tangente au graphe de $f$ en ce point.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On a : $\lim_{x\to1^-}f(x)=1-3+2=0$ ; $\lim_{x\to1^+}f(x)=\sqrt{0}\cdot(2-1)=0$ ; $f(1)=0$ . Les trois valeurs coïncident, ce qui prouve que $f$ est continue en $1$ .

2. Pour $h<0$ , $1+h<1$ donc $f(1+h)=(1+h)^2-3(1+h)+2=1+2h+h^2-3-3h+2=h^2-h$ . Ainsi $\dfrac{f(1+h)-0}{h}=\dfrac{h^2-h}{h}=h-1\xrightarrow[h\to0^-]{}-1$ . On obtient $\tau_g=-1$ .

3. Pour $h>0$ , $f(1+h)=\sqrt{h}\,(2-(1+h))=\sqrt{h}(1-h)$ . Ainsi $\dfrac{f(1+h)}{h}=\dfrac{\sqrt{h}(1-h)}{h}=\dfrac{1-h}{\sqrt{h}}\xrightarrow[h\to0^+]{}+\infty$ . Or $\tau_d=+\infty$ : la demi-tangente à droite est verticale.

4. $\tau_g=-1\neq+\infty=\tau_d$ , d'où $f$ n'est pas dérivable en $1$ . Conclusion : il n'existe pas de tangente au sens usuel en ce point (coin avec demi-tangente verticale à droite).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill DR-A.1 — dérivabilité par les taux à gauche/droite

2 questionsCorrigé masqué

Soit $f(x)=x|x|$ .

Calculer les taux d'accroissement à gauche et à droite en $0$ .
$f$ est-elle dérivable en $0$ ? Donner l'équation de la tangente.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On pose les taux d'accroissement en $0$ . Pour $h>0$ : $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{h^2}{h}=h\to0$ . Pour $h<0$ : $\dfrac{-h^2}{h}=-h\to0$ . On a : les deux limites latérales coïncident.

2. On obtient $f'(0)=0$ . Conclusion : $f$ est dérivable en $0$ et la tangente a pour équation $y=0$ .

Entraînement 02 / 02

Drill DR-A.2 — demi-tangente verticale

1 questionCorrigé masqué

Soit $f(x)=\sqrt[3]{x}$ . Étudier la dérivabilité en $0$ et interpréter géométriquement.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Montrons que $f(x)=\sqrt[3]{x}$ n'est pas dérivable en $0$ . Le taux d'accroissement vaut $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=h^{-2/3}$ . Or $h^{-2/3}\to+\infty$ quand $h\to0$ , par suite le taux n'admet pas de limite finie. Conclusion : $f$ n'est pas dérivable en $0$ ; ce qui prouve que la courbe admet une tangente verticale (axe $Oy$ ) en $O$ .

Méthode / Automatismes

Commencer toujours par la continuité : si $f$ n'est pas continue en $a$ , elle n'est pas dérivable non plus — inutile de calculer les taux.
Pour les fonctions définies par morceaux, calculer $\tau_g$ et $\tau_d$ séparément en substituant l'expression correspondant à chaque côté.
Si un taux tend vers $\pm\infty$ , la courbe admet une demi-tangente verticale en $a$ côté concerné ; noter que la fonction reste non dérivable.
L'équation de la tangente en $(a, f(a))$ n'existe que si $f'(a)$ est fini : $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ .

Pièges classiques

Confondre continuité et dérivabilité : une fonction peut être continue sans être dérivable (cas d'un coin). Inversement, si $f$ est dérivable en $a$ , elle est nécessairement continue. Oublier de vérifier la continuité avant de conclure sur la dérivabilité peut conduire à des erreurs.

Variantes rencontrées : on peut demander d'étudier la dérivabilité de $|g(x)|$ en un zéro de $g$ , ou d'une fonction définie avec $\sqrt[3]{x-a}$ (taux $\to\infty$ des deux côtés, donc point d'inflexion à tangente verticale). Parfois l'énoncé demande explicitement la demi-tangente gauche et droite.