Masar
Masar
Bac Tunisie
Mathématiques/R-E
Entraîner la reconnaissance
R-EArithmétique

Systèmes de numération et Z/nZ\Z/n\Z (spécificité tunisienne)

Idée directrice

Le programme de la section Math traite l'écriture d'un entier en base bb et la structure (Z/nZ,+,⋅)(\Z/n\Z,+,\cdot). L'idée récurrente : une écriture ak…a1a0‾ b=∑aibi\overline{a_k\ldots a_1a_0}^{\,b}=\sum a_i b^i transforme une question de divisibilité en congruence sur les chiffres, car b≡b\equiv (petit reste) modulo le diviseur visé.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« écrire NN en base bb » ; « dans Z/nZ\Z/n\Z, résoudre… » ; critère de divisibilité par les chiffres.

Sujet principal

Exercice 6 — critère de divisibilité et changement de base

3 questionsCorrigé masqué

Soit N=ak…a1a0‾ 10N=\overline{a_k\ldots a_1 a_0}^{\,10} l'écriture décimale d'un entier.

  1. Montrer que N≡a0+a1+⋯+ak(mod9)N\equiv a_0+a_1+\cdots+a_k \pmod 9. En déduire le critère de divisibilité par 99.
  2. Montrer que N≡∑i(−1)iai(mod11)N\equiv \sum_i(-1)^i a_i \pmod{11}. En déduire le critère par 1111.
  3. Écrire N=2025N=2025 en base 77, puis vérifier le reste de 20252025 modulo 66 à l'aide de cette écriture.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On a 10≡110\equiv1 modulo 99, donc 10i≡110^i\equiv1 modulo 99 pour tout ii. Par suite N=∑ai10i≡∑aiN=\sum a_i10^i\equiv\sum a_i modulo 99. Conclusion : NN est divisible par 99 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.

2. De même 10≡−110\equiv-1 modulo 1111, d'où 10i≡(−1)i10^i\equiv(-1)^i modulo 1111 et N≡∑(−1)iaiN\equiv\sum(-1)^i a_i modulo 1111. Il en résulte que NN est divisible par 1111 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres l'est.

3. Divisions successives par 77 : 2025=7⋅289+22025=7\cdot289+2 ; 289=7⋅41+2289=7\cdot41+2 ; 41=7⋅5+641=7\cdot5+6 ; 5=7⋅0+55=7\cdot0+5. En lisant les restes de bas en haut : 2025=5622‾ 72025=\overline{5622}^{\,7}. Contrôle : 5⋅343+6⋅49+2⋅7+2=20255\cdot343+6\cdot49+2\cdot7+2=2025. Pour le reste modulo 66 : 7≡17\equiv1 modulo 66 donc 7i≡17^i\equiv1, et 2025≡5+6+2+2=15≡32025\equiv5+6+2+2=15\equiv3 modulo 66. En effet 2025=6⋅337+32025=6\cdot337+3.

Méthode / Automatismes
  • Changement de base : divisions euclidiennes successives par bb, restes lus de bas en haut.
  • Critère de divisibilité : chercher le reste de b (=10)b\ (=10) modulo le diviseur, puis exploiter b≡±1b\equiv\pm1 ou une petite période.
  • Dans Z/nZ\Z/n\Z : un élément aˉ\bar a est inversible   ⟺  pgcd⁡(a,n)=1\iff \pgcd(a,n)=1 ; son inverse se trouve par Bézout.
  • Toujours vérifier une écriture en base en recomposant ∑aibi\sum a_ib^i.
Pièges classiques

Mal convertir ak…a0‾b\overline{a_k\ldots a_0}^{b} en omettant une puissance de bb. Travailler dans Z/nZ\Z/n\Z sans réduire les coefficients modulo nn. Confondre base bb et modulo nn.