R-FArithmétique

PGCD d'une suite d'entiers

Idée directrice

Le scénario « créatif » : une suite $(u_n)$ d'entiers est donnée, et l'on étudie $\pgcd(u_n,u_{n+1})$ ou $\pgcd(u_m,u_n)$ . La clé est presque toujours une combinaison linéaire qui fait apparaître une constante, montrant que deux termes consécutifs sont premiers entre eux — puis Bézout referme le raisonnement. C'est le pont entre arithmétique et suites (comme dans l'épreuve 2026).

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

Une suite d'entiers $u_n$ définie explicitement ; « montrer que $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux » ; « déterminer $\pgcd(u_m,u_n)$ ».

Sujet principal

Exercice 7 — termes consécutifs premiers entre eux

2 questionsCorrigé masqué

Soit $(u_n)$ définie par $u_n=n!+1$ pour $n\geq1$ ; et soit $(v_n)$ définie par $v_n=2^n-1$ .

Montrer que $\pgcd(v_n,v_{n+1})=1$ pour tout $n\geq1$ .
Montrer plus généralement que $\pgcd(2^a-1,\ 2^b-1)=2^{\pgcd(a,b)}-1$ . *(On pourra admettre et utiliser $2^a-1\equiv 2^{\,a\bmod b}-1$ modulo $2^b-1$ .)*

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Montrons que $\pgcd(v_n,v_{n+1})=1$ pour $v_n=2^n-1$ . On a $2v_n-v_{n+1}=2(2^n-1)-(2^{n+1}-1)=-1$ . Par suite tout diviseur commun de $v_n$ et $v_{n+1}$ divise $-1$ . D'après le théorème de Bézout, il en résulte $\pgcd(v_n,v_{n+1})=1$ , ce qui prouve que $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux.

2. Montrons que $\pgcd(2^a-1,2^b-1)=2^{\pgcd(a,b)}-1$ . La relation admise $2^a-1\equiv2^{a\bmod b}-1$ modulo $2^b-1$ signifie que l'algorithme d'Euclide sur les $2^\bullet-1$ reproduit celui sur les exposants. Par suite, en itérant, $\pgcd(2^a-1,2^b-1)=2^{\pgcd(a,b)}-1$ . Exemple : $\pgcd(2^{12}-1,2^8-1)=2^{\pgcd(12,8)}-1=15$ .

Méthode / Automatismes

$\pgcd$ de termes consécutifs : chercher $\alpha u_n+\beta u_{n+1}=$ constante ; le pgcd divise cette constante.
Propriété d'Euclide : $\pgcd(a,b)=\pgcd(b,\ a-qb)=\pgcd(b,\ a\bmod b)$ — descente qui structure toute la preuve.
Récurrence utile pour propager «  $u_n\wedge u_{n+1}=1$  » ou une formule de type $u_{m+n}=\ldots$
Vérifier sur un petit cas numérique avant de rédiger la généralisation.

Pièges classiques

Calculer $\pgcd(u_n,u_{n+1})$ terme à terme sans relation de récurrence. Oublier l'identité de Bézout / combinaison linéaire qui fait descendre l'indice (type Euclide sur la suite).

Où ce scénario est tombé

Bac 2026 — session principale (probable · pas de PDF local 2026)· Suites et arithmétiqueattestéLe pont suites–arithmétique : suite d'entiers et équation diophantienne.