R-DArithmétique

Petit théorème de Fermat

Idée directrice

Quand un nombre premier $p$ et de grandes puissances apparaissent ensemble, penser Fermat : $a^{p-1}\equiv1\,[p]$ si $p\nmid a$ . Il court-circuite la recherche de période et donne directement des restes ou des divisibilités valables « pour tout $n$  ».

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

Un nombre premier $p$ en vedette + grandes puissances ; « en utilisant le théorème de Fermat… ».

Sujet principal

Exercice 5 — divisibilité universelle par Fermat

3 questionsCorrigé masqué

Énoncer le petit théorème de Fermat.
Montrer que pour tout entier $a$ , $\ 7\mid a^7-a$ .
Montrer que pour tout entier naturel $n$ , $\ 42\mid n^7-n$ .

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1. Petit théorème de Fermat : si $p$ est premier et $p\nmid a$ , alors $a^{p-1}\equiv1$ modulo $p$ . Forme corollaire (valable pour tout $a$ ) : $a^p\equiv a$ modulo $p$ .

2. D'après le théorème de Fermat sous forme corollaire avec $p=7$ : $a^7\equiv a$ modulo $7$ , donc $a^7-a$ est divisible par $7$ pour tout entier $a$ .

3. On a $42=2\cdot3\cdot7$ . On montre la divisibilité par chacun des facteurs premiers, puis on recolle :

$n^7-n$ est divisible par $2$ : $n^7$ et $n$ ont même parité.
Divisible par $3$ : par le théorème de Fermat, $n^3\equiv n$ modulo $3$ , d'où $n^7=n^3\cdot n^3\cdot n\equiv n\cdot n\cdot n=n^3\equiv n$ modulo $3$ .
Divisible par $7$ : question 2 (congruence $n^7\equiv n$ modulo $7$ ).

Comme $2$ , $3$ et $7$ sont premiers entre eux deux à deux, leur produit $42$ divise $n^7-n$ . Conclusion : pour tout entier naturel $n$ , $42\mid n^7-n$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill R-D.1 — petit théorème de Fermat

1 questionCorrigé masqué

$p=11$ premier. Calculer le reste de $2^{100}$ modulo $11$ .

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D'après le théorème de Fermat, $2^{10}\equiv1$ modulo $11$ . Or $100=10\cdot10$ , d'où $2^{100}=(2^{10})^{10}\equiv1$ modulo $11$ . Conclusion : le reste de $2^{100}$ modulo $11$ est $1$ .

Méthode / Automatismes

Vérifier l'hypothèse : $p$ premier et $p\nmid a$ (sinon utiliser la forme $a^p\equiv a$ ).
Divisibilité par un produit $m=p_1p_2\cdots$ de premiers distincts : montrer la divisibilité par chaque $p_i$ , puis conclure car ils sont premiers entre eux ( $p_1\cdots p_k\mid N$ ).
Réduire un grand exposant $n$ modulo $p-1$ : $a^n=a^{(p-1)q+r}\equiv a^r\,[p]$ .

Pièges classiques

Appliquer $a^{p-1}\equiv1$ quand $p\mid a$ (faux : on a alors $a\equiv0$ ). Utiliser Fermat avec un module non premier : il faut alors passer à la période ou au théorème d'Euler (hors programme, donc on reste sur la période).

Où ce scénario est tombé

Sujet type 2025 (format officiel)· Exercice arithmétiqueattestéMontrer 173|a ⟺ 173|b : traduire en congruences et faire circuler la divisibilité à travers un premier.