ST-BStatistiques

Statistique à deux variables : corrélation, moindres carrés, prévision

Idée directrice

Forme attestée en Bac SE, session principale 2015, exercice 3 : statistique à deux variables, coefficient de corrélation, ajustement affine par moindres carrés, estimation.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Statistique à deux variables »

« Coefficient de corrélation $r$ »

« Ajustement affine par moindres carrés »

« Droite de régression $C=bt+a$ »

Sujet principal

Exercice — statistique à deux variables (esprit SE principale 2015)

5 questionsCorrigé masqué

On étudie une série statistique double $(t,C)$ (temps $t$ , grandeur $C$ ). On dispose des paramètres suivants (valeurs du corrigé 2015) : coefficient de corrélation linéaire $r=0{,}99998$ , droite de régression de $C$ en $t$ de pente $b=23{,}19$ et d'ordonnée à l'origine $a=1{,}68$ .

Rappeler la formule du coefficient de corrélation linéaire $r$ en fonction de $\mathrm{cov}(t,C)$ , $\sigma_t$ et $\sigma_C$ .
Interpréter la valeur $r=0{,}99998$ . Justifier qu'un ajustement affine par la méthode des moindres carrés est légitime.
Écrire l'équation de la droite de régression de $C$ en $t$ .
Estimer $C$ pour $t=188$ .
On suppose de plus un modèle $C=\alpha t+40\beta+745$ . Par identification avec la droite obtenue, déterminer $\alpha$ et $\beta$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $r=\dfrac{\mathrm{cov}(t,C)}{\sigma_t\,\sigma_C}$ .

2. $r\approx 1$ : très forte corrélation linéaire positive. Comme $|r|>\frac{\sqrt{3}}{2}$ (seuil usuel du programme), l'ajustement affine par moindres carrés est justifié.

3. $C=23{,}19\,t+1{,}68$ .

4. Pour $t=188$ : $C=23{,}19\times 188+1{,}68=4361{,}4$ .

5. $23{,}19 t+1{,}68=\alpha t+40\beta+745\Rightarrow \alpha=23{,}19$ et $40\beta=1{,}68-745\Rightarrow \beta=\dfrac{1{,}68-745}{40}=-18{,}808$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill ST-B.1 — corrélation et légitimité de l'ajustement

3 questionsCorrigé masqué

Pour une série statistique double, on a obtenu $r=0{,}99998$ .

Que représente $r$ ?
Interpréter la valeur $0{,}99998$ .
Pourquoi un ajustement affine par moindres carrés est-il justifié ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $r$ est le coefficient de corrélation linéaire entre les deux variables.

2. $r$ est très proche de $1$ : corrélation linéaire positive quasi parfaite.

3. $|r|$ est supérieur au seuil usuel : l'ajustement affine par moindres carrés est légitime.

Méthode / Automatismes

Toujours calculer ou lire $r$ avant de lancer un ajustement affine.
La droite de régression de $y$ en $x$ passe par le point moyen $(\bar x,\bar y)$ avec pente $\mathrm{cov}/V(x)$ .
L'identification de deux expressions affines se fait coefficient par coefficient.

Pièges classiques

Confondre la régression de $C$ en $t$ avec celle de $t$ en $C$ . Affirmer qu'un $|r|$ faible justifie les moindres carrés.