ST-DStatistiques

Régression affine : production laitière (corrélation, prévision, seuil)

Idée directrice

Forme attestée en Bac SE, session de contrôle 2022, exercice 1 : coefficient de corrélation, droite de régression, prévision de production, résolution d'inéquation sur le modèle affine.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Forte corrélation linéaire positive »

« Droite de régression de $P$ en $I$ »

« $P=51{,}38 I+911{,}8$ »

« Production du lait »

Sujet principal

Exercice — régression affine et prévision (esprit SE contrôle 2022)

5 questionsCorrigé masqué

On étudie la production annuelle de lait cru $P$ (en millions de litres) en fonction du rang $I$ de l'année. Une étude statistique donne un coefficient de corrélation $r=0{,}97$ et la droite de régression de $P$ en $I$ : $P=51{,}38\,I+911{,}8$ .

Interpréter la valeur $r=0{,}97$ .
Écrire l'équation de la droite de régression de $P$ en $I$ .
L'année 2023 correspond au rang $I=16$ . Estimer la production en 2023.
Déterminer à partir de quelle année le modèle prédit $P\ge 1800$ (on indiquera le rang puis l'année, sachant que le rang $18$ est 2025).
Pour $I=17$ (année 2024), comparer la production prédite au besoin $12{,}5\times 135=1687{,}5$ millions de litres.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $r=0{,}97$ : forte corrélation linéaire positive entre $I$ et $P$ .

2. $P=51{,}38\,I+911{,}8$ .

3. Pour $I=16$ : $P=51{,}38\times 16+911{,}8=1733{,}88$ millions de litres.

4. $51{,}38 I+911{,}8\ge 1800\Leftrightarrow I\ge 17{,}28$ . Le premier rang entier $\ge 17{,}28$ dans le calendrier du corrigé conduit à l'année 2025 (rang $18$ ).

5. Pour $I=17$ : $P=51{,}38\times 17+911{,}8=1785{,}26>1687{,}5$ : la production prédite couvre le besoin.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill ST-D.1 — prévision sur une droite de régression

3 questionsCorrigé masqué

On admet la droite de régression $P=51{,}38\,I+911{,}8$ issue d'une étude statistique.

Estimer $P$ pour $I=16$ .
Résoudre $P\ge 1800$ d'inconnue $I$ .
Interpréter le résultat si le rang $18$ correspond à l'année 2025.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. La droite de régression issue de l'étude statistique s'écrit $P=51{,}38\,I+911{,}8$ . Pour $I=16$ , $P=51{,}38\times 16+911{,}8=822{,}08+911{,}8=1733{,}88$ millions de litres.

2. $P\ge 1800\Leftrightarrow 51{,}38 I+911{,}8\ge 1800\Leftrightarrow 51{,}38 I\ge 888{,}2\Leftrightarrow I\ge\frac{888{,}2}{51{,}38}\approx 17{,}28$ .

3. Le premier rang entier compatible avec le calendrier du corrigé 2022 (rang $18$ = année 2025) donne : à partir de 2025, le modèle prédit que la production du lait dépasse $1800$ millions de litres. C'est une lecture directe de l'ajustement affine.

Méthode / Automatismes

Interpréter d'abord $r$ avant d'utiliser la droite.
Une prévision se fait par substitution dans l'équation de régression.
Une inéquation $P\ge P_0$ se ramène à une inéquation affine sur $I$ .

Pièges classiques

Inverser la pente et l'ordonnée à l'origine. Confondre le rang $I$ avec l'année civile sans table de correspondance.