ST-EStatistiques

Corrélation et droite des moindres carrés C = bt + a

Idée directrice

Pour une série statistique double $(t,C)$ , on calcule le coefficient de corrélation $r$ , on justifie l'ajustement affine par les moindres carrés, puis on détermine la droite $C=bt+a$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« très forte corrélation »

« moindres carrés est justifié »

« C = 23.19t + 1.68 »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

On étudie une série statistique à deux variables $(t,C)$ (esprit bac Sciences exp. 2015 principale, thème statistique).

On a obtenu $r=0{,}99998$ . Que conclure sur la corrélation ? Un ajustement affine par les moindres carrés est-il justifié ?
Sachant $b=\dfrac{\mathrm{cov}(t,C)}{\sigma_t^2}=23{,}19$ et $a=\overline{C}-b\overline{t}=1{,}68$ , écrire l'équation de la droite des moindres carrés de $C$ en $t$ .
Estimer $C$ pour $t=188$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $r=0{,}99998$ : très forte corrélation linéaire ( $|r|$ proche de 1). Un ajustement affine par les moindres carrés est justifié (corrigé 2015 secexp).

2. $C=23{,}19\,t+1{,}68$ (corrigé : $C=bt+a$ avec $b=23{,}19$ , $a=1{,}68$ ).

3. $C(188)=23{,}19\times 188+1{,}68=\mathbf{4361{,}4}$ (unité du sujet, cm³ dans le corrigé).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill ST-E.1 — Lire r

1 questionCorrigé masqué

Pour une série statistique double, on calcule $r=0{,}99998$ . En une phrase, que dire de la corrélation linéaire et de la pertinence d'un ajustement par les moindres carrés ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

La corrélation linéaire est très forte ( $r=0{,}99998$ quasi égal à 1), donc un ajustement affine par la méthode des moindres carrés est justifié (corrigé bac Sciences expérimentales 2015 principale, exercice statistique à deux variables). On pourra ensuite estimer $C$ pour une valeur de $t$ hors échantillon via la droite $C=bt+a$ .

Méthode / Automatismes

Règle usuelle : $|r|>0{,}87$ (ou $\sqrt{3}/2$ ) ⇒ ajustement affine acceptable (selon le barème du sujet).
$b=\mathrm{cov}/\sigma_x^2$ , $a=\bar y-b\bar x$ .

Pièges classiques

Confondre $b=\mathrm{cov}/(\sigma_t\sigma_C)$ (ce n'est pas $r$ ) ; extrapoler sans rappeler le modèle.