CO-AConiques

Parabole comme lieu et équation réduite

Idée directrice

Une parabole se reconnaît par une définition focale (PF = PH) ou par une équation $y^2=2px$ après un bon choix de repère.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

parabole

tangente

foyer

Sujet principal

Exercice — parabole et tangente

3 questionsCorrigé masqué

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère la parabole $\mathcal{P}: y^2 = 4x$ .

Préciser le foyer $F$ et la directrice de $\mathcal{P}$ .
Soit $M(t^2, 2t)$ un point de $\mathcal{P}$ . Déterminer l'équation de la tangente en $M$ .
Pour quelles valeurs de $t$ la tangente passe-t-elle par le point $A(1,3)$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On pose $y^2=2px$ avec $2p=4$ , d'où $p=2$ . On a : $F(1;0)$ , directrice $x=-1$ .

2. Soit $M(t^2,2t)$ . On a : $2yy'=4$ , pente $1/t$ en $M$ . On obtient $tY=X+t^2$ .

3. Passage par $A(1;3)$ : $3t=1+t^2$ . On a : $t^2-3t+1=0$ . On obtient $t=\dfrac{3\pm\sqrt5}{2}$ . Conclusion : les solutions de l'équation sont $t=\dfrac{3\pm\sqrt5}{2}$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill CO-A.1 — reconnaissance

1 questionCorrigé masqué

Réduire $x^2-4y=0$ et identifier foyer/directrice.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On pose $x^2=4y$ . On a : $2p=4$ , $p=2$ , $F(0;1)$ , directrice $y=-1$ .

Méthode / Automatismes

Réduire l'équation, lire $(p)$ , paramétrer, dériver implicitement pour la tangente.

Pièges classiques

Oublier le cas $t=0$ (tangente verticale $x=0$ ). Confondre $2p$ et $p$ .