MX-AMatrices et systèmes linéaires

Déterminant, inversibilité et matrice inverse via produit A×B = k I

Idée directrice

En Eco-Gestion, l'exercice de matrices ouvre souvent par le déterminant d'une matrice $3\times3$ : si $\det(A)\neq0$ , la matrice est inversible. Le corrigé calcule ensuite un produit matriciel $A\times B=k I_3$ pour en déduire la matrice inverse $A^{-1}=\dfrac{1}{k}B$ . Forme attestée sur les principales 2021–2022 et le contrôle 2021.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer le déterminant de A, en déduire que A est inversible »

« Calculer A×B et déduire la matrice inverse »

« On a A×B = k I₃ »

Sujet principal

Exercice — déterminant et matrice inverse (esprit bac Eco-Gestion)

3 questionsCorrigé masqué

On considère les matrices $3\times3$

$A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}3&-2&1\\-2&4&-2\\1&-2&3\end{pmatrix}$ .

Calculer le déterminant $\det(A)$ . En déduire que la matrice $A$ est inversible.
Calculer le produit matriciel $A\times B$ . Vérifier que $A\times B=4 I_3$ où $I_3$ est la matrice identité d'ordre 3.
En déduire la matrice inverse $A^{-1}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On pose la matrice $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$ . On a : $\det(A)=2(4-1)-1(2-0)+0(1-0)=6-2=4$ . On obtient $\det(A)=4\neq0$ . La matrice $A$ est donc inversible.

2. On pose le produit matriciel $A\times B$ . On a : $A\times B=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}$ . On obtient $A\times B=4 I_3$ .

3. On a : $A\times B=4 I_3$ , d'où $A\times\bigl(\dfrac{1}{4}B\bigr)=I_3$ . Par suite la matrice inverse est $A^{-1}=\dfrac{1}{4}B=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{4}&-\tfrac{1}{2}&\tfrac{1}{4}\\-\tfrac{1}{2}&1&-\tfrac{1}{2}\\\tfrac{1}{4}&-\tfrac{1}{2}&\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}$ . Le facteur scalaire du produit donne directement le coefficient devant $B$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill MX-A.1 — Déterminant et inversibilité d'une matrice 2×2

2 questionsCorrigé masqué

Soit la matrice $M=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$ .

Calculer le déterminant $\det(M)$ .
La matrice $M$ est-elle inversible ? Si oui, déterminer la matrice inverse $M^{-1}$ .

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1. On pose $M=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$ . On a : $\det(M)=12-2=10$ . On obtient $\det(M)=10$ .

2. On a : $\det(M)=10\neq0$ , donc la matrice $M$ est inversible. Par suite $M^{-1}=\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix}4&-1\\-2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac{2}{5}&-\tfrac{1}{10}\\-\tfrac{1}{5}&\tfrac{3}{10}\end{pmatrix}$ . La formule $2\times2$ échange la diagonale, change le signe des anti-diagonaux, puis divise par le déterminant.

Entraînement 02 / 02

Drill MX-A.2 — Condition d'inversibilité d'une matrice à paramètre

2 questionsCorrigé masqué

On considère la matrice $M_t=\begin{pmatrix}2&1&0\\t&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$ où $t\in\mathbb{R}$ .

Montrer que $\det(M_t)=2-t$ .
Pour quelles valeurs de $t$ la matrice $M_t$ est-elle inversible ?

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1. On pose la matrice $M_t=\begin{pmatrix}2&1&0\\t&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$ . On a : $\det(M_t)=2(1\cdot1-0\cdot1)-1(t\cdot1-0\cdot0)+0=2-t$ . On obtient $\det(M_t)=2-t$ .

2. La matrice $M_t$ est inversible si et seulement si $\det(M_t)\neq0$ , c'est-à-dire $t\neq2$ . Hors de cette valeur, le déterminant s'annule et aucune matrice inverse n'existe.

Méthode / Automatismes

Calculer d'abord $\det(A)$ : $\det(A)\neq0$ $\Leftrightarrow$ matrice inversible.
Si $A\times B=k I_3$ avec $k\neq0$ , alors $A^{-1}=\dfrac{1}{k}B$ .
Vérifier une ligne du produit matriciel avant d'affirmer l'égalité à $k I_3$ .

Pièges classiques

Conclure à l'inversibilité sans le déterminant. Oublier le facteur $\dfrac{1}{k}$ dans la matrice inverse. Confondre $B$ avec $A^{-1}$ lorsque $A\times B=k I_3$ et $k\neq1$ .