R-AArithmétique

Divisibilité par combinaison linéaire

Idée directrice

La divisibilité « voyage » par combinaison : si $d$ divise deux entiers, il divise toute combinaison $au+bv$ . On s'en sert pour éliminer la variable et ramener un diviseur inconnu à diviser une constante, dont on liste alors les diviseurs.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Montrer que $d$ divise… » ; « déterminer les entiers $n$ tels que $u\mid v$ » ; « montrer que $p\mid a \iff p\mid b$ ».

Sujet principal

Exercice 1 — diviseurs d'une expression paramétrée

1 questionCorrigé masqué

Déterminer tous les entiers relatifs $n$ tels que $(n+4)$ divise $(2n+13)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Si $n+4$ divise $2n+13$ , alors $n+4$ divise $(2n+13)-2(n+4)=5$ . Donc $n+4\in\{-5,-1,1,5\}$ , soit $n\in\{-9,-5,-3,1\}$ . Réciproquement, chacune de ces valeurs convient. La congruence $2n+13\equiv0$ modulo $n+4$ se réduit à $5\equiv0$ modulo $n+4$ : $n+4$ est un diviseur de $5$ , d'où $n+4$ divise $5$ (et $2n+13$ est divisible par $n+4$ ). Conclusion : les solutions sont $n\in\{-9,-5,-3,1\}$ .

Méthode / Automatismes

$d\mid a$ et $d\mid b \Rightarrow d\mid(au+bv)$ : l'outil pour éliminer une variable.
Diviseurs bornés : ramener «  $X\mid$ (constante) » puis lister les diviseurs (sans oublier les négatifs dans $\Z$ ).
Gauss : $a\mid bc$ et $\pgcd(a,b)=1 \Rightarrow a\mid c$ . C'est LE théorème de transfert.
Toujours conclure par la réciproque : l'implication « candidat $\Rightarrow$ solution » n'est pas automatique.

Pièges classiques

Oublier la réciproque (analyse/synthèse) : trouver la liste des candidats ne prouve pas qu'ils conviennent tous. Oublier les diviseurs négatifs quand l'énoncé travaille dans $\Z$ . Appliquer Gauss sans vérifier l'hypothèse $\pgcd=1$ .

Où ce scénario est tombé

Bac 2020 — session principale· Exercice 3 (arithmétique)attestéLa périodicité des restes réduit le problème à un nombre fini de cas ; la combinaison linéaire fait circuler la divisibilité.

Sujet type 2025 (format officiel)· Exercice arithmétiqueattestéMontrer 173|a ⟺ 173|b : traduire en congruences et faire circuler la divisibilité à travers un premier.