EX-AFonctions exponentielles et puissances

Fonction exponentielle : propriétés, équations et inéquations

Idée directrice

La fonction $\exp$ est la seule fonction dérivable sur $\R$ vérifiant $f'=f$ et $f(0)=1$ . De là découlent toutes ses propriétés : stricte croissance, $e^{a+b}=e^a e^b$ , $e^a=e^b\Leftrightarrow a=b$ , $e^a>0$ partout. Les équations et inéquations se ramènent à cet isomorphisme : $e^{u(x)}=e^{v(x)}\Leftrightarrow u(x)=v(x)$ et $e^{u(x)}>e^{v(x)}\Leftrightarrow u(x)>v(x)$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Résoudre $e^{2x}-3e^x+2=0$ » ; « résoudre dans $\R$ l'inéquation $e^{\ldots}\leq e^{\ldots}$ » ; « montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution »

Sujet principal

Exercice 1 — équations et inéquations exponentielles

4 questionsCorrigé masqué

Résoudre dans $\R$ les équations et inéquations suivantes.

$e^{2x}-3e^x+2=0$ .
1. Poser $X=e^x$ ( $X>0$ ) et résoudre l'équation en $X$ .
2. En déduire les solutions en $x$ .
$e^{3x}\leq e^{x+4}$ .
$e^{x^2-3x+2}=1$ .
Montrer que l'équation $e^x + x = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$ , et donner un encadrement de $\alpha$ à $0{,}1$ près.
1. Étudier les variations de $h(x)=e^x+x$ .
2. Conclure sur l'existence et l'unicité, puis encadrer $\alpha$ par un calcul numérique.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On pose $X=e^x>0$ : $X^2-3X+2=0$ . On a : $\Delta=1$ , $X_1=1$ , $X_2=2$ . D'où $e^x=1\Rightarrow x=0$ et $e^x=2\Rightarrow x=\ln2$ . Conclusion : les solutions de l'équation sont $\{0;\ln2\}$ .

2. Or $\exp$ est strictement croissante : $e^{3x}\le e^{x+4}\Leftrightarrow 3x\le x+4\Leftrightarrow x\le2$ . Conclusion : $]-\infty;2]$ .

3. On a : $e^{x^2-3x+2}=1=e^0\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\Leftrightarrow(x-1)(x-2)=0$ . Conclusion : les solutions de l'équation sont $\{1;2\}$ .

4. On pose $h(x)=e^x+x$ . $h'(x)=e^x+1>0$ , par suite $h$ est strictement croissante sur $\R$ . Or $h(-\infty)=-\infty$ et $h(+\infty)=+\infty$ , d'où par le TVI il existe un unique $\alpha$ tel que $h(\alpha)=0$ . $h(-1)<0$ , $h(0)>0$ , puis $h(-0{,}6)<0$ , $h(-0{,}5)>0$ . Conclusion : $-0{,}6<\alpha<-0{,}5$ , ce qui prouve l'existence et l'unicité avec l'encadrement demandé.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill EX-A.1 — équation exponentielle

1 questionCorrigé masqué

Résoudre $e^{2x}-3e^{x}+2=0$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On pose $X=e^x>0$ : $X^2-3X+2=0$ . On a : $X=1$ ou $X=2$ . On obtient $e^x=1\Rightarrow x=0$ et $e^x=2\Rightarrow x=\ln2$ . Conclusion : les solutions de l'équation sont $x\in\{0,\ln2\}$ .

Entraînement 02 / 02

Drill EX-A.2 — inéquation

1 questionCorrigé masqué

Résoudre $e^{x}>\dfrac1{e^{2x-3}}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On pose $e^{x}>e^{3-2x}$ . On a : $x>3-2x\Leftrightarrow x>1$ . On obtient $x>1$ . Conclusion : $]1,+\infty[$ .

Méthode / Automatismes

Équation du type $e^{2x}-ae^x+b=0$ : poser impérativement $X=e^x>0$ ; résoudre en $X$ , puis revenir en $x=\ln X$ .
$e^{u(x)}=e^{v(x)}\Leftrightarrow u(x)=v(x)$ ; $e^{u(x)}>e^{v(x)}\Leftrightarrow u(x)>v(x)$ . Jamais de logarithme intermédiaire nécessaire.
Pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution : TVI (existence) + stricte monotonie (unicité).
Encadrement à $10^{-k}$ près : calculer $h$ en deux points distants de $10^{-k}$ encadrant la racine.

Pièges classiques

Oublier que $X=e^x>0$ : des solutions négatives de l'équation en $X$ doivent être rejetées. Écrire $\ln(e^{2x})=2x$ sans précautions (ici légitime car $e^{2x}>0$ ) mais tenter $\ln$ d'une expression qui peut être négative est une erreur grave.

Variantes rencontrées : $e^{2x}-e^x-2>0$ (inéquation trinôme), $e^x=kx$ discuté selon $k>0$ , ou systèmes $\{e^{x+y}=a,\, e^{x-y}=b\}$ résolus en faisant produit/quotient.