RC-CDipôle RC

Dipôle RC : exploitation d'un oscillogramme pour mesurer $\tau$ et déterminer $C$ ou $R$

Idée directrice

La trajectoire de cet exercice est d'utiliser un oscillogramme de la réponse à un échelon de tension (charge) pour lire graphiquement $\tau$ — soit par la tangente à l'origine, soit par la valeur à $0{,}63\,E$ — puis d'en déduire la capacité $C$ ou la résistance $R$ inconnue, et de discuter qualitativement l'influence de chaque paramètre sur la forme de la courbe.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Déterminer graphiquement la constante de temps $\tau$ » ; « En déduire la valeur de $C$ » ; « Vérifier la concordance des deux méthodes » ; « Décrire l'influence d'une augmentation de $R$ sur la charge »

Sujet principal

Exercice — charge RC et lecture d'oscillogramme

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

On étudie la charge d'un condensateur $C$ inconnu à travers une résistance $R = 2{,}0\,\text{k}\Omega$ alimentée par un générateur de tension continue $E = 8{,}0\,\text{V}$ . Un oscilloscope, connecté aux bornes du condensateur, fournit la courbe $u_C(t)$ ci-dessous (échelles : $1\,\text{div} = 1{,}0\,\text{ms}$ en temps, $1\,\text{div} = 2{,}0\,\text{V}$ en tension).

La figure montre la courbe expérimentale, l'asymptote $u_C = E$ , la tangente à l'origine et une construction à $63\,\%$ de $E$ . Les lectures de temps se font sur l'axe des abscisses de la figure.

Rappeler l'expression de $u_C(t)$ lors d'une charge depuis $u_C(0) = 0$ , et donner l'expression de $\tau$ .
1. Écrire $u_C(t)$ en fonction de $E$ , $t$ et $\tau$ .
2. Exprimer $\tau$ en fonction de $R$ et $C$ .
Méthode 1 — tangente à l'origine. Sur la figure, lire l'abscisse $t_1$ où la tangente à l'origine coupe l'asymptote $u_C = E$ .
1. Montrer que ce point d'intersection définit $\tau$ (donc $t_1 = \tau$ ).
2. En déduire la valeur de $C$ .
**Méthode 2 — valeur à $63\,\%$ .** On sait que $u_C(\tau) = E(1-e^{-1}) \approx 0{,}63\,E$ .
1. Calculer $0{,}63\,E$ numériquement, puis lire sur la figure l'abscisse $t^*$ où $u_C$ atteint cette valeur. En déduire $\tau$ .
2. Les deux méthodes concordent-elles ?
On remplace $C$ par un condensateur de capacité $C' = 2C$ , toutes choses égales par ailleurs. Décrire qualitativement les modifications observées sur l'oscillogramme (allure, asymptote, vitesse de charge).
On revient au condensateur $C$ initial et on ajoute une résistance $r = 500\,\Omega$ en série avec $R$ . Calculer la nouvelle constante de temps $\tau'$ et la comparer à $\tau$ .

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1.(a) *Idée : solution de l'équation différentielle de charge avec $u_C(0)=0$ .*

u_C(t) = E\!\left(1 - e^{-t/\tau}\right)

1.(b) $\tau = RC$ .

2.(a) *Idée : la pente de la tangente en $t=0$ vaut $E/\tau$ , donc la droite tangente est $u = (E/\tau)\,t$ . Elle atteint $E$ quand $t = \tau$ .*
La figure montre la tangente en $t=0$ coupant l'asymptote $u_C = 8{,}0\,\text{V}$ en $t_1 = 4{,}0\,\text{ms}$ . Or cette intersection est en $t=\tau$ . Donc $t_1 = \tau$ .

2.(b) $\tau = t_1 = 4{,}0\,\text{ms}$ (lecture de la figure).

C = \frac{\tau}{R} = \frac{4{,}0\times10^{-3}}{2{,}0\times10^{3}} = \boxed{2{,}0\,\mu\text{F}}

3.(a) $0{,}63\times E = 0{,}63\times8{,}0 = 5{,}04\,\text{V} \approx 5{,}0\,\text{V}$ . Sur la figure, la construction $63\,\%$ place le point $u_C \approx 5{,}0\,\text{V}$ à $t^* = 4{,}0\,\text{ms}$ , ce qui confirme $\tau = 4{,}0\,\text{ms}$ .

3.(b) Les deux méthodes (tangente à l'origine et construction $63\,\%$ ), toutes deux lues sur la même figure, donnent $\tau = 4{,}0\,\text{ms}$ : elles concordent.

4. *Idée : $\tau' = RC' = 2RC = 2\tau$ , donc la charge est deux fois plus lente.* L'asymptote reste $u_C = E = 8{,}0\,\text{V}$ (elle ne dépend pas de $C$ ) ; la courbe monte moins vite ; au bout d'un temps $5\tau$ , le condensateur est pratiquement chargé.

5. Idée : les résistances en série s'additionnent.

\tau' = (R + r)\,C = (2{,}0\times10^3 + 500)\times2{,}0\times10^{-6} = \boxed{5{,}0\,\text{ms}}

$\tau' > \tau$ : la charge est plus lente.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill RC-C.1 — identifier $u_C$ et $u_R$

3 questionsCorrigé masqué

Un dipôle RC série, alimenté par un échelon $E=6{,}0\,\text{V}$ , comporte $R=2{,}0\,\text{k}\Omega$ et un condensateur initialement déchargé. Deux chronogrammes sont relevés : la courbe A part de $0\,\text{V}$ et tend vers $6{,}0\,\text{V}$ ; la courbe B part de $6{,}0\,\text{V}$ et tend vers $0\,\text{V}$ . À $t=4{,}0\,\text{ms}$ , A vaut $3{,}79\,\text{V}$ et B vaut $2{,}21\,\text{V}$ .

Identifier $u_C(t)$ et $u_R(t)$ parmi A et B en utilisant les états initial et permanent.
Montrer que l'instant fourni est la constante de temps.
En déduire la capacité $C$ et vérifier la loi des mailles à cet instant.

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1. Identification. Initialement déchargé, le condensateur impose $u_C(0)=0$ ; en régime permanent il se comporte comme un interrupteur ouvert et $u_C\to E$ . Donc A représente $u_C$ . La tension $u_R=E-u_C$ part de $E$ et tend vers zéro : B représente $u_R$ .

2. Lecture caractéristique. Pour la charge, $u_C(\tau)=E(1-e^{-1})=0{,}632E=3{,}79\,\text{V}$ et $u_R(\tau)=Ee^{-1}=2{,}21\,\text{V}$ . L'instant $4{,}0\,\text{ms}$ est donc $\tau$ .

3. Application numérique. $C=\tau/R=4{,}0\times10^{-3}/(2{,}0\times10^3)=\boxed{2{,}0\,\mu\text{F}}$ . À cet instant, $u_C+u_R=3{,}79+2{,}21=6{,}00\,\text{V}=E$ : la loi des mailles est vérifiée.

Entraînement 02 / 02

Drill RC-C.2 — confronter deux mesures de $\tau$

3 questionsCorrigé masqué

Lors de la charge d'un condensateur à travers $R=1{,}50\,\text{k}\Omega$ , deux lectures indépendantes du même chronogramme donnent $\tau_{\mathrm{tan}}=2{,}9\,\text{ms}$ par la tangente à l'origine et $\tau_{63}=3{,}1\,\text{ms}$ au niveau $0{,}63E$ . On adopte la moyenne comme estimation de $\tau$ .

Calculer l'estimation retenue de $\tau$ , puis la capacité $C$ .
Calculer l'écart relatif entre les deux lectures, rapporté à leur moyenne.
Dire si les mesures sont compatibles avec une tolérance expérimentale de $10\,\%$ et préciser ce que changerait un doublement de $R$ .

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1. Estimation. La moyenne vaut $\tau=(2{,}9+3{,}1)/2=\boxed{3{,}0\,\text{ms}}$ . La constante de temps vérifie $\tau=RC$ , donc $C=3{,}0\times10^{-3}/(1{,}50\times10^3)=\boxed{2{,}0\,\mu\text{F}}$ .

2. Dispersion. L'écart relatif est $|3{,}1-2{,}9|/3{,}0=0{,}0667$ , soit $\boxed{6{,}7\,\%}$ .

3. Interprétation. Comme $6{,}7\,\%<10\,\%$ , les deux méthodes sont compatibles dans la tolérance annoncée. Si $R$ double à capacité inchangée, $\tau=RC$ double : les deux constructions doivent alors donner environ $6{,}0\,\text{ms}$ , tandis que l'asymptote $E$ reste inchangée.

Méthode / Automatismes

**Deux méthodes graphiques pour lire $\tau$ ** : (1) tangente en $t=0$ jusqu'à l'asymptote ( $t=\tau$ ) ; (2) lire l'abscisse pour $u_C = 0{,}63\,E$ . Utiliser les deux pour vérification.
L'asymptote vaut toujours $E$ (la tension du générateur), indépendamment de $R$ et de $C$ .
Pour déterminer $C$ ou $R$ : $C = \tau/R$ ou $R = \tau/C$ . Vérifier les unités ( $\Omega\cdot\text{F} = \text{s}$ ).
En $t = 5\tau$ , le condensateur est chargé à $99{,}3\,\%$ : c'est le critère pratique de charge complète.
Résistances en série pour calculer $\tau$ : $\tau = (R_1 + R_2 + \ldots)\,C$ .

Pièges classiques

Piège classique : lire $t$ sur l'oscillogramme sans tenir compte de l'échelle de la division (ex. $1\,\text{div} = 1\,\text{ms}$ ou $2\,\text{ms}$ ). Toujours convertir la lecture en unités SI avant de calculer. Autre piège : confondre $\tau$ (temps caractéristique) avec le temps de charge «complète» — le condensateur n'est jamais chargé à $100\,\%$ en temps fini, on parle conventionnellement de $5\tau$ .

Variantes rencontrées : l'oscilloscope est connecté aux bornes de $R$ plutôt que de $C$ (la courbe est alors décroissante, $u_R(t) = E\,e^{-t/\tau}$ , et la méthode de lecture est la même) ; on donne la fréquence d'un signal créneau et on demande de vérifier que la demi-période est grande devant $\tau$ pour que la charge soit complète ; on demande de calculer $C$ connaissant $R$ et la valeur de $u_C$ à un instant $t_0$ donné.

Dipôle RC : exploitation d'un oscillogramme pour mesurer τ\tauτ et déterminer CCC ou RRR

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Dipôle RC : exploitation d'un oscillogramme pour mesurer $\tau$ et déterminer $C$ ou $R$