RC-BDipôle RC

Dipôle RC : décharge d'un condensateur et énergie dissipée

Idée directrice

La trajectoire de cet exercice est de reconnaître la loi de décharge $u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}$ , d'identifier $\tau = RC$ à partir des données, puis de calculer l'énergie initialement stockée dans le condensateur et de montrer qu'elle est intégralement dissipée par effet Joule dans la résistance pendant la décharge.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ lors de la décharge » ; « Vérifier que $u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}$ est solution » ; « Calculer l'énergie dissipée dans la résistance » ; « Montrer que l'énergie stockée est entièrement dissipée »

Sujet principal

Exercice — décharge RC et énergie

5 questionsCorrigé masqué

Un condensateur de capacité $C = 10\,\mu\text{F}$ , préalablement chargé sous une tension $E = 12\,\text{V}$ , se décharge à travers une résistance $R = 5{,}0\,\text{k}\Omega$ à partir de $t = 0$ .

Convention de nœuds (à respecter dans tout l'exercice). Soit A le nœud de l'armature initialement positive du condensateur, et B le nœud de retour. On définit $u_C = V_A - V_B$ et $u_R = V_A - V_B$ . Pendant la décharge, le courant $i$ circule dans $R$ de A vers B, donc $u_R = R\,i$ . Le courant quitte l'armature positive du condensateur, d'où la relation $i = -C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur lors de la décharge.
1. Avec la convention de nœuds ci-dessus, exprimer $u_R$ en fonction de $u_C$ , puis relier $R\,i$ et $u_C$ .
2. En utilisant $i = -C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ , établir l'équation différentielle sous la forme $\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \dfrac{u_C}{RC} = 0$ .
Vérifier que $u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}$ est solution de cette équation. Exprimer $\tau$ en fonction de $R$ et $C$ , puis calculer sa valeur numérique.
Calculer l'énergie $E_C$ initialement stockée dans le condensateur.
Exprimer l'énergie $E_R$ dissipée par effet Joule dans $R$ pendant toute la décharge sous la forme d'une intégrale, puis montrer que $E_R = E_C$ .
1. Écrire la puissance instantanée $p_R(t)$ dissipée dans $R$ (utiliser $u_R = u_C$ ).
2. Calculer $E_R = \int_0^{+\infty} p_R(t)\,\mathrm{d}t$ .
On coupe la résistance et on branche à la place une résistance $R' = 10\,\text{k}\Omega$ . Indiquer, sans calcul, l'effet sur $\tau$ , sur $u_C(t=0)$ et sur l'énergie totale dissipée.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.(a) Convention de nœuds. $u_C = V_A - V_B$ et $u_R = V_A - V_B$ partagent la même définition. Pendant la décharge, $i$ va de A vers B dans $R$ , donc $u_R = R\,i$ . Il en résulte $u_R = u_C$ , d'où $R\,i = u_C$ .

1.(b) *Idée : le courant quitte l'armature positive, $i = -C\,\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t$ ; substituer dans $R\,i = u_C$ .*
$R\!\left(-C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}\right) = u_C$ , soit $-RC\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = u_C$ , donc :

\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \frac{u_C}{RC} = 0

2. *Idée : substituer la solution candidate dans l'équation pour vérifier l'identité, puis lire $\tau$ .*
$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(E\,e^{-t/\tau}\right) = -\dfrac{E}{\tau}\,e^{-t/\tau}$ . En injectant dans l'équation : $-\dfrac{E}{\tau}\,e^{-t/\tau} + \dfrac{E}{RC}\,e^{-t/\tau} = 0 \Rightarrow \tau = RC$ .

\tau = RC = 5{,}0\times10^{3}\times10\times10^{-6} = \boxed{50\,\text{ms}}

3. Idée : énergie électrostatique stockée dans un condensateur.

E_C = \frac{1}{2}C E^2 = \frac{1}{2}\times10\times10^{-6}\times144 = \boxed{7{,}2\times10^{-4}\,\text{J}}

4.(a) *Idée : avec $u_R = u_C$ , la puissance dissipée dans $R$ est $p_R = u_R^2/R = u_C^2/R$ .*

p_R(t) = \frac{u_C^2(t)}{R} = \frac{E^2}{R}\,e^{-2t/\tau}

4.(b) *Idée : intégrer une exponentielle décroissante sur $[0,+\infty[$ . La cohérence avec $u_R = u_C$ et $i = -C\,\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t$ est préservée car $p_R = Ri^2 = u_C^2/R$ .*

E_R = \int_0^{+\infty}\frac{E^2}{R}\,e^{-2t/\tau}\,\mathrm{d}t = \frac{E^2}{R}\cdot\frac{\tau}{2} = \frac{E^2}{R}\cdot\frac{RC}{2} = \frac{1}{2}CE^2 = \boxed{E_C}

5. $\tau' = R'C = 2\tau$ , donc la décharge est deux fois plus lente ; $u_C(t=0)$ reste $E = 12\,\text{V}$ (la charge initiale ne dépend pas de $R'$ ) ; l'énergie totale dissipée est identique ( $E_C$ ), car elle dépend uniquement de la charge initiale, pas de $R'$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill RC-B.1 — atteindre un seuil de sécurité

3 questionsCorrigé masqué

Un condensateur de capacité $C=20\,\mu\text{F}$ , initialement chargé sous $U_0=10\,\text{V}$ , se décharge dans une résistance $R=100\,\text{k}\Omega$ . Sa tension suit $u_C(t)=U_0e^{-t/(RC)}$ . Avant de manipuler le montage, on exige $u_C\leq2{,}0\,\text{V}$ .

Calculer la constante de temps du dipôle RC.
Déterminer le premier instant auquel le seuil de sécurité est atteint.
Calculer l'intensité du courant de décharge en valeur absolue à cet instant et la comparer à sa valeur initiale.

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1. Mise en équation. La constante de temps de la décharge vaut $\tau=RC=100\times10^3\times20\times10^{-6}=\boxed{2{,}0\,\text{s}}$ .

2. Résolution inverse. Le seuil vérifie $2{,}0=10e^{-t/\tau}$ , donc $e^{-t/\tau}=0{,}20$ et $t=\tau\ln 5$ . Application numérique : $t=2{,}0\ln5=\boxed{3{,}22\,\text{s}}$ .

3. Intensité. En valeur absolue, $|i|=u_C/R$ . Au seuil, $|i|=2{,}0/(100\times10^3)=\boxed{20\,\mu\text{A}}$ . Initialement, $|i(0)|=10/(100\times10^3)=100\,\mu\text{A}$ : le courant au seuil vaut donc un cinquième du courant initial.

Entraînement 02 / 02

Drill RC-B.2 — reconnaître deux vitesses de décharge

3 questionsCorrigé masqué

Deux condensateurs identiques de capacité inconnue sont chargés sous $U_0=8{,}0\,\text{V}$ , puis déchargés séparément dans $R_1=20\,\text{k}\Omega$ et $R_2=60\,\text{k}\Omega$ . À $t=3{,}0\,\text{s}$ , les tensions mesurées sur les courbes A et B valent respectivement $0{,}40\,\text{V}$ et $2{,}94\,\text{V}$ . La courbe A atteint $U_0/e$ à $t=1{,}0\,\text{s}$ .

Associer chaque courbe à sa résistance en justifiant par la constante de temps.
Déduire la capacité commune des condensateurs à partir de la courbe A.
Prévoir puis vérifier la tension de la courbe B à $t=3{,}0\,\text{s}$ .

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1. Identification. Pour une décharge RC, la constante de temps est $\tau=RC$ : la plus grande résistance produit la décroissance la plus lente. La courbe B, dont la tension reste la plus élevée, correspond donc à $R_2=60\,\text{k}\Omega$ ; A correspond à $R_1=20\,\text{k}\Omega$ .

2. Exploitation. Sur A, $u_C=U_0/e$ à $t=\tau_1=1{,}0\,\text{s}$ . Ainsi $C=\tau_1/R_1=1{,}0/(20\times10^3)=\boxed{50\,\mu\text{F}}$ .

3. Vérification. $\tau_2=R_2C=60\times10^3\times50\times10^{-6}=3{,}0\,\text{s}$ . À $t=3{,}0\,\text{s}=\tau_2$ , $u_B=8/e=\boxed{2{,}94\,\text{V}}$ , conforme à la mesure. Pour A, $t=3\tau_1$ donne $8e^{-3}=0{,}398\,\text{V}$ , soit $0{,}40\,\text{V}$ .

Méthode / Automatismes

Lors d'une décharge, le courant est défini sortant du condensateur : $i = -C\,\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t$ . Vérifier le signe avant d'écrire la loi des mailles.
La constante de temps $\tau = RC$ : $\tau$ est le temps mis pour que $u_C$ chute à $E/e \approx 0{,}37\,E$ , et aussi la durée de la tangente en $t=0$ .
L'énergie totale dissipée pendant une décharge complète est toujours $\tfrac{1}{2}CE^2$ , quelle que soit la valeur de $R$ (seul le débit dans le temps change).
Pour intégrer $e^{-2t/\tau}$ sur $[0,+\infty[$ , utiliser $\int_0^{+\infty}e^{-at}\,\mathrm{d}t = 1/a$ .

Pièges classiques

Piège classique : confondre le signe du courant en décharge avec celui de la charge. En décharge, $i$ est opposé à la convention de charge ; ne pas oublier le signe « $-$ » dans $i = -C\,\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t$ , sous peine d'obtenir une équation sans solution décroissante. Autre piège : croire que doubler $R$ réduit l'énergie dissipée — l'énergie totale est fixée par la charge initiale, seule la durée de la décharge change.

Variantes rencontrées : le condensateur se décharge à travers deux résistances en série ou en parallèle (calculer $R_{\text{éq}}$ puis $\tau$ ) ; on donne la courbe $u_C(t)$ et on demande de lire $\tau$ graphiquement (tangente en $t=0$ ou valeur à $0{,}37E$ ) ; on demande le temps pour que la tension chute en dessous d'un seuil donné ( $u_C < U_s$ , résolution par $\ln$ ).

Où ce scénario est tombé

Bac 2022 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (circuits RC / condensateurs)attestéDeux condensateurs, charge/décharge, oscilloscope, énergie emmagasinée, bobine.