OM-COscillations mécaniques

Oscillations mécaniques forcées — résonance d'élongation et de vitesse

Idée directrice

Lorsqu'une excitation sinusoïdale de fréquence $f$ est appliquée au pendule élastique amorti, l'amplitude de l'état forcé dépend de $f$ : elle passe par un maximum (résonance d'élongation à $f_\text{rés} < f_0$ ) et la vitesse est maximale exactement à $f = f_0$ (résonance de vitesse). L'exercice fait écrire l'équation du mouvement forcé, calculer l'amplitude en régime forcé, identifier les deux fréquences de résonance, et analyser le rôle du facteur de qualité $Q = m\omega_0/h$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Écrire l'équation du mouvement forcé » ; « Montrer que l'amplitude vaut $X_m = F_0/\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + h^2\omega^2}$ » ; « Calculer le facteur de qualité » ; « Interpréter les comportements aux fréquences limites »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsCorrigé masqué

On soumet le pendule élastique ( $m = 500\,\text{g}$ , $k = 20\,\text{N/m}$ , $h = 0{,}40\,\text{N·s/m}$ ) à une excitation harmonique : le support oscille selon $x_e(t) = X_e\cos(\omega t)$ avec $X_e = 2{,}0\,\text{cm}$ .

Montrer que l'équation du mouvement forcé s'écrit $m\ddot{x} + h\dot{x} + kx = kX_e\cos(\omega t)$ .
1. Exprimer la force de rappel en fonction de l'élongation relative $x - x_e$ .
2. Écrire le PFD et simplifier.
En régime forcé, l'amplitude de la réponse est :
1. Montrer que $X_m(\omega) = \dfrac{kX_e}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + h^2\omega^2}}$ .
2. Calculer $X_m(\omega_0)$ (résonance de vitesse).
Calculer le facteur de qualité $Q = m\omega_0/h$ et commenter la sélectivité.
À basse fréquence ( $\omega \to 0$ ), que vaut $X_m$ ? À haute fréquence ( $\omega \to \infty$ ) ? Interpréter physiquement.

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1.(a) *Idée : la force de rappel dépend de l'allongement du ressort $= x - x_e$ , pas de $x$ seul.*

Force de rappel : $F = -k(x - x_e)$ . Force de frottement (contre la vitesse relative du solide) : $f = -h\dot{x}$ (le support est le référentiel d'excitation).

1.(b) PFD : $m\ddot{x} = -k(x - x_e) - h\dot{x} = -kx + kx_e - h\dot{x}$ . Donc :

m\ddot{x} + h\dot{x} + kx = kx_e = kX_e\cos(\omega t).

2.(a) *Idée : en régime sinusoïdal forcé, on cherche la solution particulière de la forme $x_p(t) = X_m\cos(\omega t - \psi)$ . L'amplitude s'obtient par la méthode des amplitudes complexes.*

X_m(\omega) = \frac{kX_e}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + h^2\omega^2}}.

2.(b) À $\omega = \omega_0$ (résonance de vitesse) : $k - m\omega_0^2 = k - k = 0$ .

X_m(\omega_0) = \frac{kX_e}{h\omega_0} = \frac{20\times0{,}02}{0{,}40\times6{,}32} \approx \boxed{0{,}158\,\text{m}} = 15{,}8\,\text{cm}.

L'amplitude est amplifiée : $X_m(\omega_0)/X_e \approx 7{,}9 = Q$ .

Q = \frac{m\omega_0}{h} = \frac{0{,}500\times6{,}32}{0{,}40} \approx \boxed{7{,}9}.

$Q \approx 7{,}9 > 1$ : la résonance est marquée, le pic d'amplitude est étroit. La bande passante $\Delta f = f_0/Q$ .

4. À basse fréquence ( $\omega \to 0$ ) : $X_m \to kX_e/k = X_e = 2{,}0\,\text{cm}$ — le solide suit le support sans amplification. À haute fréquence ( $\omega \to \infty$ ) : $X_m \to 0$ — l'inertie du solide l'empêche de suivre les oscillations rapides.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 03

Drill OM-C.1 — exploiter une courbe de résonance

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un oscillateur mécanique est soumis à une excitation sinusoïdale de fréquence réglable. La figure donne l'amplitude stationnaire $X_m$ en fonction de la fréquence $f$ .

Déterminer graphiquement la fréquence de résonance et l'amplitude maximale.
Justifier qu'il s'agit d'une résonance d'élongation.
Prévoir qualitativement l'effet d'un amortissement plus important sur le maximum de la courbe.

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1. Lecture graphique. Le maximum est atteint pour $\boxed{f_r\approx1{,}0\,\text{Hz}}$ et vaut $\boxed{X_{m,\max}\approx6{,}8\,\text{cm}}$ .

2. Nature. Il s'agit d'une résonance d'élongation : la grandeur qui présente un maximum est l'amplitude de l'élongation, lorsque la fréquence d'excitation est proche de la fréquence propre.

3. Amortissement. Un amortissement plus fort dissipe davantage l'énergie cinétique des vibrations : le pic devient moins haut et moins dangereux.

Entraînement 02 / 03

Drill OM-C.2 — décider quel immeuble entre en résonance

3 questionsCorrigé masqué

Un séisme impose une fréquence dominante $f_e=0{,}80\,\text{Hz}$ . Les fréquences propres de deux immeubles A et B sont $f_{0A}=0{,}78\,\text{Hz}$ et $f_{0B}=1{,}60\,\text{Hz}$ .

Identifier l'immeuble le plus exposé à une forte amplitude et justifier.
Préciser l'excitateur et le résonateur.
Si la fréquence dominante devient $1{,}55\,\text{Hz}$ , expliquer comment le diagnostic change.

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1. Premier séisme. $|0{,}80-0{,}78|=0{,}02\,\text{Hz}$ alors que $|0{,}80-1{,}60|=0{,}80\,\text{Hz}$ . A est le résonateur le plus exposé : sa fréquence propre est proche de l'excitation.

2. Acteurs. L'excitateur est le séisme ; le résonateur est l'immeuble A. La résonance d'élongation se manifeste par des oscillations importantes.

3. Nouvelle fréquence. Pour $f_e=1{,}55\,\text{Hz}$ , l'écart avec B n'est plus que $0{,}05\,\text{Hz}$ : B devient le bâtiment le plus exposé. Le diagnostic dépend de l'accord des fréquences, pas d'une propriété absolue de l'immeuble.

Entraînement 03 / 03

Drill OM-C.3 — distinguer force intense et accord de fréquence

3 questionsCorrigé masqué

Le même oscillateur est testé deux fois. Dans l'essai 1, une force de faible amplitude agit à $0{,}99f_0$ et produit $X_m=8{,}0\,\text{cm}$ . Dans l'essai 2, une force deux fois plus intense agit à $2{,}0f_0$ et produit seulement $X_m=3{,}0\,\text{cm}$ .

Identifier l'essai résonant et justifier sans utiliser seulement l'intensité de la force.
Expliquer pourquoi l'amplitude peut être plus grande dans l'essai 1.
Formuler le critère fréquentiel qui manque à l'affirmation « une force plus intense produit toujours la plus grande oscillation ».

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1. Diagnostic. L'essai 1 est résonant puisque $0{,}99f_0$ est très proche de la fréquence propre. L'essai 2 est loin de l'accord malgré une force plus intense.

2. Explication. À la fréquence de résonance, le système accumule de l'énergie au fil des périodes ; ses oscillations deviennent importantes et l'amplitude atteint ici $8{,}0\,\text{cm}$ .

3. Critère. L'amplitude dépend à la fois de l'excitation et de la proximité entre sa fréquence et la fréquence propre. Une intensité plus grande ne garantit donc pas la résonance d'élongation.

Méthode / Automatismes

Équation forcée : $m\ddot{x} + h\dot{x} + kx = F_0\cos(\omega t)$ où $F_0 = kX_e$ (excitation par le support) ou $F_0$ une force extérieure directe.
Amplitude en régime forcé : $X_m = F_0/\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + h^2\omega^2}$ .
Résonance de vitesse : $\omega = \omega_0$ , $X_m = F_0/(h\omega_0) = QX_e$ .
Facteur de qualité : $Q = m\omega_0/h$ . Plus $Q$ est grand, plus la résonance est étroite et le pic élevé.

Pièges classiques

Confondre résonance d'élongation (amplitude de $x$ maximale, $\omega_\text{rés} < \omega_0$ pour $Q$ fini) et résonance de vitesse ( $\omega = \omega_0$ exactement). Pour $Q$ grand, les deux fréquences sont très proches, mais pour $Q$ faible elles diffèrent sensiblement.

Variantes rencontrées : force d'excitation directe $F(t) = F_0\cos(\omega t)$ ; tracé de $X_m(\omega)$ et identification du facteur de qualité par la méthode des $-3\,\text{dB}$ ; pendule simple forcé avec analogie électrique.