OM-BOscillations mécaniques

Oscillations mécaniques amorties — frottements et décroissance d'amplitude

Idée directrice

L'ajout d'une force de frottement fluide $\vec{f} = -h\dot{x}\,\vec{u}_x$ dans le pendule élastique crée un amortissement : les oscillations persistent mais leur amplitude décroît exponentiellement selon $X_n = X_0\,e^{-\alpha t_n}$ . L'exercice fait établir l'équation différentielle du second ordre, identifier le régime, exploiter les données d'un oscillogramme pour calculer le décrément logarithmique, et calculer l'énergie dissipée par les frottements.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Établir l'équation différentielle » ; « Préciser le régime d'oscillations » ; « Calculer le décrément logarithmique $\delta$ » ; « Calculer l'énergie dissipée entre deux oscillations consécutives »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un solide de masse $m = 500\,\text{g}$ est fixé à un ressort de raideur $k = 20\,\text{N/m}$ . Il est soumis à une force de frottement fluide $f = -hv$ avec $h = 0{,}40\,\text{N·s/m}$ . À $t=0$ , on écarte le solide de $X_0 = 6{,}0\,\text{cm}$ et on le lâche.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $x(t)$ .
1. Montrer que $m\ddot{x} + h\dot{x} + kx = 0$ .
2. Calculer le discriminant réduit $\Delta' = \left(\dfrac{h}{2m}\right)^2-\dfrac{k}{m}$ et préciser le régime.
L'oscillogramme de $x(t)$ donne deux amplitudes positives successives $X_1 = 4{,}80\,\text{cm}$ et $X_2 = 3{,}22\,\text{cm}$ séparées par une pseudo-période $T = 1{,}00\,\text{s}$ .
1. Calculer le décrément logarithmique $\delta$ .
2. En déduire le coefficient d'amortissement $\alpha = h/(2m)$ et comparer à la valeur théorique.
Calculer l'énergie mécanique dissipée entre les instants $t_1$ et $t_2 = t_1 + T$ (amplitudes $X_1$ et $X_2$ ).
Comparer la pseudo-période $T$ à $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ .

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1.(a) *Idée : PFD avec trois forces : poids (compensé par la réaction), force de rappel $-kx$ et frottement $-h\dot{x}$ .*

m\ddot{x} = -kx - h\dot{x} \implies m\ddot{x} + h\dot{x} + kx = 0.

1.(b) *Idée : identifier $\alpha = h/(2m)$ et $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , puis comparer $\alpha$ et $\omega_0$ .*

\alpha = \frac{h}{2m} = \frac{0{,}40}{2\times0{,}500} = 0{,}40\,\text{s}^{-1}.

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{20}{0{,}500}} = \sqrt{40} \approx 6{,}32\,\text{rad/s}.

$\alpha = 0{,}40\,\text{s}^{-1} < \omega_0 = 6{,}32\,\text{rad/s}$ : régime pseudo-périodique (oscillations amorties).

2.(a)

\delta = \ln\frac{X_1}{X_2} = \ln\frac{4{,}80}{3{,}22} \approx \boxed{0{,}400}.

2.(b) $\alpha = \delta/T \approx 0{,}400/1{,}00 = 0{,}400\,\text{s}^{-1}$ . Cette valeur concorde, à l'arrondi près, avec la valeur théorique $h/(2m)=0{,}40\,\text{s}^{-1}$ .

3. *Idée : énergie mécanique à chaque extremum : $E_n = \frac{1}{2}kX_n^2$ .*

\Delta E = \frac{1}{2}k(X_1^2 - X_2^2) = \frac{1}{2}\times20\times((0{,}0480)^2 - (0{,}0322)^2).

\Delta E = 10\times(2{,}304\times10^{-3} - 1{,}037\times10^{-3}) \approx \boxed{1{,}27\times10^{-2}\,\text{J}}.

T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}500}{20}} = 2\pi\times0{,}158 \approx 0{,}993\,\text{s}.

$T = 1{,}00\,\text{s} > T_0 \approx 0{,}993\,\text{s}$ : la pseudo-période est légèrement supérieure à $T_0$ en raison de l'amortissement, conformément à la relation $T = T_0/\sqrt{1 - (\alpha/\omega_0)^2}$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 03

Drill OM-B.1 — choisir une protection dissipative

3 questionsCorrigé masqué

Un immeuble soumis à une excitation proche de sa fréquence propre atteint une amplitude de $12\,\text{cm}$ sans protection. Avec le dispositif A, l'amplitude vaut $5\,\text{cm}$ mais le dispositif restitue ensuite toute l'énergie reçue. Avec le dispositif B, l'amplitude vaut $3\,\text{cm}$ et l'énergie cinétique des vibrations est dissipée.

Identifier la situation de résonance et expliquer l'origine de la forte amplitude.
Choisir le dispositif qui joue réellement le rôle d'amortisseur et justifier par un critère énergétique.
Calculer le pourcentage de réduction d'amplitude obtenu avec ce dispositif.

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1. Diagnostic. L'excitation est proche de la fréquence propre : l'immeuble accumule de l'énergie à sa fréquence de résonance et ses oscillations deviennent importantes.

2. Choix. Le dispositif B est un véritable système d'amortissement, car il dissipe l'énergie cinétique des vibrations. A la restitue et peut donc entretenir le mouvement.

\text{réduction}=\frac{12-3}{12}\times100=\boxed{75\,\%}.

3. Interprétation. La diminution de l'amplitude confirme que la dissipation limite l'accumulation d'énergie dans le résonateur.

Entraînement 02 / 03

Drill OM-B.2 — reconstruire la chaîne énergétique

3 questionsCorrigé masqué

On donne cinq étapes dans le désordre : (a) l'amplitude devient importante ; (b) un amortisseur dissipe de l'énergie ; (c) l'excitation est proche de la fréquence propre ; (d) l'énergie s'accumule dans le résonateur ; (e) le risque d'instabilité diminue.

Remettre les étapes dans l'ordre causal, de l'excitation jusqu'à la protection.
Distinguer dans cette chaîne ce qui produit la résonance de ce qui la limite.
Expliquer pourquoi un dispositif qui stocke puis restitue toute l'énergie n'assure pas le même rôle.

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1. Chaîne causale : $\boxed{c\rightarrow d\rightarrow a\rightarrow b\rightarrow e}$ . L'accord de fréquence permet l'accumulation d'énergie ; l'amplitude augmente, puis la dissipation réduit le risque.

2. Production / limitation. La proximité avec la fréquence de résonance et l'accumulation d'énergie produisent les oscillations importantes. Le système d'amortissement les limite en dissipant l'énergie cinétique.

3. Un stockage intégralement restitué ne retire aucune énergie mécanique au système : il ne réduit pas durablement l'amplitude, contrairement à un amortisseur dissipatif.

Entraînement 03 / 03

Drill OM-B.3 — comparer deux excitations sismiques

3 questionsCorrigé masqué

La fréquence propre d'un immeuble est $f_0=1{,}20\,\text{Hz}$ . Deux séismes de même accélération maximale produisent des vibrations dominantes de fréquences $f_A=1{,}18\,\text{Hz}$ et $f_B=2{,}40\,\text{Hz}$ .

Déterminer le séisme qui présente le plus grand risque de résonance et justifier.
Nommer le type de résonance, l'excitateur et le résonateur.
Indiquer une protection adaptée et préciser son rôle énergétique.

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1. Comparaison. $|f_A-f_0|=0{,}02\,\text{Hz}$ contre $|f_B-f_0|=1{,}20\,\text{Hz}$ . Le séisme A est donc le plus dangereux : l'excitation est proche de la fréquence propre et l'énergie peut s'accumuler.

2. Identification. Il s'agit d'une résonance d'élongation, car elle se traduit par des oscillations importantes. L'excitateur est le séisme et le résonateur est l'immeuble.

3. Protection. Des systèmes d'amortissement, tels que pendules ou amortisseurs, dissipent l'énergie cinétique des vibrations et limitent l'amplitude.

Méthode / Automatismes

Équa diff amorties : $m\ddot{x} + h\dot{x} + kx = 0$ . Identifier $\alpha = h/(2m)$ et $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ .
Régime : $\alpha < \omega_0$ → pseudo-périodique ; $\alpha = \omega_0$ → critique ; $\alpha > \omega_0$ → apériodique.
Décrément logarithmique : $\delta = \ln(X_n/X_{n+1}) = \alpha T$ .
Énergie dissipée entre deux extrema : $\Delta E = \frac{1}{2}k(X_n^2 - X_{n+1}^2)$ .

Pièges classiques

Oublier la force de frottement dans le PFD (écrire seulement $m\ddot{x} + kx = 0$ ). Autre piège : utiliser $X_n$ et $X_{n+1}$ comme les amplitudes absolues consécutives sans tenir compte du fait qu'elles correspondent aux extrema positifs et négatifs alternés (dans ce cas, comparer les extrema positifs entre eux).

Variantes rencontrées : amortissement solide (loi de Coulomb) à la place du frottement fluide ; détermination de $h$ à partir du décrément ; calcul de la durée de vie des oscillations ( $x < x_\text{seuil}$ ) ; comparaison avec l'analogie électrique (RLC).