OM-AOscillations mécaniques

Pendule élastique horizontal — oscillations libres non amorties

Idée directrice

Une masse $m$ accrochée à un ressort de raideur $k$ constitue un oscillateur harmonique mécanique : la résultante des forces donne une équation différentielle identique à celle du circuit LC. L'exercice demande d'établir cette équation (via le principe fondamental de la dynamique), de trouver $x(t) = X_0\cos(\omega_0 t + \varphi)$ avec $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , puis de calculer les énergies cinétique et potentielle élastique et de vérifier leur conservation.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Appliquer le PFD et établir l'équation différentielle » ; « Montrer que $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ » ; « Montrer que l'énergie mécanique est conservée »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsCorrigé masqué

Un solide de masse $m = 200\,\text{g}$ est fixé à l'extrémité d'un ressort horizontal de raideur $k = 5{,}0\,\text{N/m}$ et de longueur à vide $\ell_0$ . On écarte le solide de sa position d'équilibre d'une distance $X_0 = 4{,}0\,\text{cm}$ puis on le lâche sans vitesse initiale à $t = 0$ . On néglige les frottements.

Appliquer le PFD au solide et établir l'équation différentielle vérifiée par $x(t)$ (élongation par rapport à la position d'équilibre).
1. Montrer que $\ddot{x} + \omega_0^2\,x = 0$ avec $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ .
2. Vérifier que $x(t) = X_0\cos(\omega_0 t + \varphi)$ est solution.
Déterminer $X_0$ et $\varphi$ à partir des conditions initiales $x(0) = X_0$ et $\dot{x}(0) = 0$ .
Calculer la période propre $T_0$ et la fréquence $f_0$ . Application numérique.
Exprimer les énergies cinétique $E_c$ , potentielle élastique $E_{pe}$ et mécanique $E_m$ en fonction du temps. Vérifier la conservation de $E_m$ .
1. Calculer $E_m$ .
2. À quel instant la vitesse est-elle maximale ? Quelle est sa valeur ?

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1.(a) *Idée : le seul effort horizontal est la force de rappel élastique $\vec{F} = -kx\,\vec{u}_x$ . Le PFD projeté sur $x$ donne directement l'équa diff.*

PFD : $m\ddot{x} = -kx \implies \ddot{x} + \dfrac{k}{m}x = 0$ . En posant $\omega_0^2 = k/m$ :

\ddot{x} + \omega_0^2\,x = 0.

1.(b) Dérivée : $\dot{x}(t) = -X_0\omega_0\sin(\omega_0 t + \varphi)$ , $\ddot{x}(t) = -X_0\omega_0^2\cos(\omega_0 t + \varphi) = -\omega_0^2 x(t)$ . $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$ . $\checkmark$

2. *Idée : conditions initiales $x(0) = X_0$ et $\dot{x}(0) = 0$ .*

$x(0) = X_0\cos\varphi = X_0 \implies \cos\varphi = 1 \implies \varphi = 0$ .

$\dot{x}(0) = -X_0\omega_0\sin\varphi = 0$ : cohérent avec $\varphi = 0$ .

x(t) = X_0\cos(\omega_0 t), \quad X_0 = 4{,}0\,\text{cm}.

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{5{,}0}{0{,}20}} = 5{,}0\,\text{rad/s}.

T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{2\pi}{5{,}0} \approx \boxed{1{,}26\,\text{s}}, \quad f_0 = \frac{1}{T_0} \approx 0{,}795\,\text{Hz}.

4.(a) *Idée : $E_c = \frac{1}{2}m\dot{x}^2$ , $E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2$ .*

E_c = \frac{1}{2}mX_0^2\omega_0^2\sin^2(\omega_0 t) = \frac{1}{2}kX_0^2\sin^2(\omega_0 t).

E_{pe} = \frac{1}{2}kX_0^2\cos^2(\omega_0 t).

E_m = E_c + E_{pe} = \frac{1}{2}kX_0^2 = \frac{1}{2}\times5{,}0\times(0{,}04)^2 = \boxed{4{,}0\times10^{-3}\,\text{J}} = 4{,}0\,\text{mJ}.

$E_m$ est constante : l'énergie mécanique est conservée (pas de frottements).

4.(b) La vitesse est maximale en $x = 0$ (position d'équilibre), soit $\omega_0 t = \pi/2$ , i.e. $t = T_0/4$ .

v_\text{max} = X_0\omega_0 = 0{,}04\times5{,}0 = \boxed{0{,}20\,\text{m/s}}.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 03

Drill OM-A.1 — reconstruire l'oscillateur depuis son énergie

3 questionsCorrigé masqué

Un oscillateur mécanique horizontal non amorti possède une énergie mécanique $E_m=5{,}0\times10^{-2}\,\text{J}$ . Les mesures donnent une vitesse maximale $v_{\max}=1{,}0\,\text{m·s}^{-1}$ et une élongation maximale $X_m=5{,}0\,\text{cm}$ .

Exploiter l'instant où la vitesse est maximale pour déterminer la masse $m$ .
Exploiter un extremum d'élongation pour déterminer la raideur $k$ du ressort.
Calculer la pulsation propre et la période, puis vérifier la relation $v_{\max}=\omega_0X_m$ .

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1. Énergie cinétique maximale. À l'équilibre, l'énergie potentielle élastique est nulle et $E_m=\tfrac12mv_{\max}^2$ . Donc $m=2E_m/v_{\max}^2=0{,}10/1{,}0^2=\boxed{0{,}100\,\text{kg}}$ .

2. Énergie potentielle maximale. À un extremum, la vitesse est nulle et $E_m=\tfrac12kX_m^2$ . Ainsi $k=2E_m/X_m^2=0{,}10/(0{,}050)^2=\boxed{40\,\text{N·m}^{-1}}$ .

3. Contrôle dynamique. $\omega_0=\sqrt{k/m}=\sqrt{40/0{,}100}=\boxed{20\,\text{rad·s}^{-1}}$ et $T_0=2\pi/\omega_0=\boxed{0{,}314\,\text{s}}$ . Enfin $\omega_0X_m=20\times0{,}050=1{,}0\,\text{m·s}^{-1}$ : la mesure de $v_{\max}$ est cohérente.

Entraînement 02 / 03

Drill OM-A.2 — retrouver la phase et le premier passage à l'équilibre

3 questionsCorrigé masqué

L'élongation d'un oscillateur mécanique non amorti est $x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$ avec $X_m=5{,}0\,\text{cm}$ et $\omega_0=20\,\text{rad·s}^{-1}$ . À $t=0$ , on mesure $x_0=-3{,}0\,\text{cm}$ et $v_0=-0{,}80\,\text{m·s}^{-1}$ .

Écrire les deux relations imposées à $\cos\varphi$ et $\sin\varphi$ , puis déterminer $\varphi$ dans $[0,2\pi[$ .
Déterminer le premier instant strictement positif où le solide passe par sa position d'équilibre.
Donner le signe et la valeur de sa vitesse lors de ce passage.

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1. Conditions initiales. $\cos\varphi=x_0/X_m=-0{,}60$ . Comme $v(t)=-\omega_0X_m\sin(\omega_0t+\varphi)$ et $\omega_0X_m=1{,}0\,\text{m·s}^{-1}$ , $\sin\varphi=-v_0/(\omega_0X_m)=0{,}80$ . Le quadrant II convient : $\boxed{\varphi=2{,}214\,\text{rad}}$ .

2. Premier zéro. $x=0$ lorsque $\omega_0t+\varphi=\pi/2+n\pi$ . La première valeur supérieure à $\varphi$ est $3\pi/2$ , donc $t_1=(3\pi/2-\varphi)/\omega_0=(4{,}712-2{,}214)/20=\boxed{0{,}1249\,\text{s}}$ .

3. Sens du passage. À l'angle $3\pi/2$ , $\sin(3\pi/2)=-1$ , donc $v(t_1)=-\omega_0X_m(-1)=\boxed{+1{,}0\,\text{m·s}^{-1}}$ . Le solide traverse l'équilibre dans le sens positif.

Entraînement 03 / 03

Drill OM-A.3 — dimensionner un ressort sous deux contraintes

3 questionsCorrigé masqué

On veut construire un oscillateur élastique horizontal non amorti avec une masse $m=0{,}250\,\text{kg}$ . Le cahier des charges impose une période $T_0=0{,}500\,\text{s}$ et une énergie mécanique $E_m=2{,}00\times10^{-2}\,\text{J}$ lors du lâcher sans vitesse.

Déterminer la raideur $k$ nécessaire.
Calculer l'élongation initiale maximale $X_m$ qui respecte l'énergie imposée.
Prévoir la vitesse maximale et contrôler le résultat par deux relations indépendantes.

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1. Dimensionnement temporel. $T_0=2\pi\sqrt{m/k}$ donne $k=4\pi^2m/T_0^2=4\pi^2\times0{,}250/(0{,}500)^2=\boxed{39{,}48\,\text{N·m}^{-1}}$ .

2. Contrainte énergétique. Au lâcher, $E_m=\tfrac12kX_m^2$ . Ainsi $X_m=\sqrt{2E_m/k}=\sqrt{0{,}0400/39{,}48}=\boxed{3{,}183\times10^{-2}\,\text{m}}$ , soit $3{,}18\,\text{cm}$ .

3. Double contrôle. $\omega_0=2\pi/T_0=12{,}566\,\text{rad·s}^{-1}$ , donc $v_{\max}=\omega_0X_m=\boxed{0{,}400\,\text{m·s}^{-1}}$ . L'autre relation donne $v_{\max}=\sqrt{2E_m/m}=\sqrt{0{,}0400/0{,}250}=0{,}400\,\text{m·s}^{-1}$ .

Méthode / Automatismes

PFD projeté : $m\ddot{x} = -kx \implies \ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$ avec $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ .
Conditions initiales : $x(0)$ donne l'amplitude (si $\dot{x}(0)=0$ , alors $\varphi = 0$ ).
Période propre : $T_0 = 2\pi/\omega_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ (indépendante de $X_0$ ).
Énergie mécanique conservée : $E_m = \frac{1}{2}kX_0^2 = \frac{1}{2}mv_\text{max}^2$ .

Pièges classiques

Confondre la position d'équilibre (origine de $x$ ) et la longueur à vide du ressort $\ell_0$ : l'équation différentielle en $x$ (mesuré depuis l'équilibre) ne fait pas apparaître $\ell_0$ . Autre erreur : croire que $T_0$ dépend de $X_0$ (c'est le propre de l'oscillateur harmonique que $T_0$ soit indépendante de l'amplitude).

Variantes rencontrées : ressort vertical (on doit montrer que l'équation diff est la même que pour le cas horizontal si $x$ est mesuré depuis la position d'équilibre) ; deux ressorts en parallèle ou en série ( $k_\text{éq}$ différent) ; pendule simple pour petits angles (analogie avec $g/\ell$ ).