OL-COscillations électriques libres (LC, RLC)

Oscillations libres non amorties — circuit LC idéal

Idée directrice

Dans un circuit LC idéal (résistance négligeable), les oscillations sont libres et non amorties : l'énergie électromagnétique totale se conserve et s'échange entre le condensateur et la bobine. La période propre est $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« oscillations libres non amorties »

« période propre T0 »

« énergie totale se conserve »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets de physique

3 questionsCorrigé masqué

On ferme un circuit formé d'une bobine d'inductance $L$ (résistance nulle) et d'un condensateur de capacité $C$ initialement chargé sous $U_0$ . Il se produit des oscillations électriques libres non amorties (esprit devoir de synthèse). L'énergie électromagnétique totale se conserve ; la période propre remplace toute notion de pseudo-période (pas d'amorti).

Nommer le régime d'oscillations et justifier brièvement (pas d'excitateur extérieur ; pas de dissipation).
Écrire l'expression de la période propre $T_0$ du circuit LC. En déduire $L$ si $T_0 = 2{,}0\,\mathrm{ms}$ et $C = 2{,}0\,\mu\mathrm{F}$ .
Montrer que l'énergie totale $E = \dfrac{1}{2}Cu_C^2 + \dfrac{1}{2}Li^2$ de l'oscillateur se conserve. Que valent $E$ maximale électrique et $E$ maximale magnétique ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Régime d'oscillations libres non amorties (devoir sp-s1-04 : « oscillations électriques libres non amorties »). Libres : aucun agent extérieur n'entretient le mouvement ; non amorties : $R=0$ , pas de pertes par effet Joule.

2. Période propre (formule de Thomson) :

T_0 = 2\pi\sqrt{LC} \quad\Rightarrow\quad L = \dfrac{T_0^2}{4\pi^2 C}

L = \dfrac{(2{,}0\times 10^{-3})^2}{4\pi^2 \times 2{,}0\times 10^{-6}} \approx \mathbf{5{,}1\times 10^{-2}\,H}

3. En dérivant $E(t)$ et en utilisant $i = C\dfrac{du_C}{dt}$ et l'équation $LC\ddot u_C + u_C = 0$ , on obtient $\dfrac{dE}{dt}=0$ : conservation. Au maximum de charge, $i=0$ et $E=\dfrac12 C U_0^2$ (tout électrique) ; au passage par $u_C=0$ , $E=\dfrac12 L I_m^2$ (tout magnétique), avec la même valeur.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill OL-C.1 — Nommer le régime (K en 2)

1 questionCorrigé masqué

On place l'interrupteur K en position 2 et on étudie les oscillations libres qui prennent naissance dans un circuit LC (devoir sp-s1-01). Nommer le régime (libre, non amorti, période propre $T_0$ ) et écrire l'allure de $u_C(t)$ si le condensateur est chargé sous $U_{c\max}$ à $t=0$ avec $i(0)=0$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Régime d'oscillations libres non amorties (sp-s1-01 : « On étudie les oscillations libres »). Avec $u_C(0)=U_{c\max}$ et $i(0)=0$ : $u_C(t) = U_{c\max}\cos(\omega_0 t)$ avec $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ et période propre $T_0=2\pi/\omega_0$ (forme équivalente à un sinus déphasé). L'énergie électromagnétique totale se conserve.

Méthode / Automatismes

Toujours séparer libre/forcé et amorti/non amorti avant d'écrire $T_0$ .
Conservation d'énergie ⇔ $R=0$ ; sinon $E$ diminue (effet Joule).

Pièges classiques

Utiliser $T=2\pi\sqrt{LC}$ pour un RLC fortement amorti sans le dire ; confondre avec les oscillations forcées (chapitre OF).