OL-BOscillations électriques libres (LC, RLC)

Oscillations libres amorties — circuit RLC

Idée directrice

L'ajout d'un résistor $R$ dans le circuit LC dissipe de l'énergie : les oscillations s'amortissent, la pseudo-période $T$ est légèrement supérieure à $T_0$ , et l'enveloppe décroît exponentiellement. L'exercice fait établir l'équation différentielle du second ordre, identifier le régime (pseudo-périodique, apériodique, critique), exploiter un oscillogramme pour mesurer $T$ et déterminer le décrément logarithmique, puis calculer l'énergie dissipée entre deux oscillations.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Établir l'équation différentielle de $q(t)$ » ; « Préciser le régime » ; « Calculer le décrément logarithmique » ; « Calculer l'énergie dissipée entre deux oscillations »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un circuit RLC série comporte un résistor $R = 50\,\Omega$ , une bobine idéale $L = 0{,}20\,\text{H}$ et un condensateur $C = 5{,}0\,\mu\text{F}$ initialement chargé sous $U_0 = 10\,\text{V}$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par la charge $q(t)$ :
1. Montrer que $\dfrac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d}t^2} + \dfrac{R}{L}\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \dfrac{q}{LC} = 0$ .
2. Calculer le discriminant réduit $\Delta' = \left(\dfrac{R}{2L}\right)^2 - \dfrac{1}{LC}$ et préciser le régime obtenu.
L'oscillogramme de $u_C(t)$ fournit les amplitudes successives $U_1 = 4{,}53\,\text{V}$ et $U_2 = 2{,}05\,\text{V}$ séparées d'une pseudo-période $T$ . La pseudo-période mesurée vaut $T = 6{,}33\,\text{ms}$ .
1. Calculer le décrément logarithmique $\delta = \ln\left(\dfrac{U_n}{U_{n+1}}\right)$ .
2. En déduire le coefficient d'amortissement $\alpha = R/(2L)$ à partir de la relation $\delta = \alpha T$ .
Calculer l'énergie dissipée dans $R$ entre $t = 0$ et $t = T$ .
Comparer $T$ à $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ . Commenter.

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1.(a) *Idée : loi des mailles RLC + $u_R = Ri$ , $u_L = L\dot{i}$ , $u_C = q/C$ .*

L\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d}t^2} + R\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{q}{C} = 0 \implies \frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d}t^2} + \frac{R}{L}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{LC}q = 0.

1.(b) *Idée : identifier les régimes à partir du signe de $\Delta'$ .*

\Delta' = \left(\frac{R}{2L}\right)^2 - \frac{1}{LC} = \left(\frac{50}{0{,}40}\right)^2 - \frac{1}{0{,}20\times5{,}0\times10^{-6}} = 15625 - 10^6 < 0.

$\Delta' < 0$ : le régime est pseudo-périodique (oscillations amorties).

2.(a) Idée : le décrément est le logarithme du rapport de deux amplitudes consécutives.

\delta = \ln\frac{U_1}{U_2} = \ln\frac{4{,}53}{2{,}05} \approx \boxed{0{,}792}.

2.(b) *Idée : $\delta = \alpha T$ avec $\alpha = R/(2L)$ .*

\alpha = \frac{\delta}{T} = \frac{0{,}792}{6{,}33\times10^{-3}} \approx \boxed{125\,\text{s}^{-1}}.

Vérification indépendante : $R/(2L) = 50/(2\times0{,}20) = 125\,\text{s}^{-1}$ . La lecture des crêtes et les paramètres du circuit conduisent donc au même amortissement.

3. *Idée : énergie initiale $E_0 = \frac{1}{2}CU_0^2$ ; énergie à $t = T$ : $E_1 = \frac{1}{2}CU_1^2$ (maximum au premier pic). Energie dissipée = $E_0 - E_1$ .*

W_\text{diss} = \frac{1}{2}C(U_0^2 - U_1^2) = \frac{1}{2}\times5{,}0\times10^{-6}\times\left(100 - 4{,}53^2\right) \approx \boxed{1{,}99\times10^{-4}\,\text{J}}.

T_0 = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{0{,}20\times5{,}0\times10^{-6}} \approx 6{,}28\times10^{-3}\,\text{s} = 6{,}28\,\text{ms}.

$T = 6{,}33\,\text{ms} > T_0 = 6{,}28\,\text{ms}$ : la pseudo-période est légèrement supérieure à $T_0$ , conformément à la théorie ( $T = T_0/\sqrt{1-(R/(2L\omega_0))^2}$ pour un amortissement faible). L'écart est faible car l'amortissement est modéré.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 04

Drill OL-B.1 — circuit LC idéal et échange d'énergie

3 questionsCorrigé masqué

Dans un oscillateur LC libre non amorti, un condensateur de capacité $C=4{,}0\,\mu\text{F}$ est chargé sous $U_0=8{,}0\,\text{V}$ , puis relié à une bobine idéale d'inductance $L=0{,}25\,\text{H}$ . La résistance du circuit est négligeable.

Établir l'expression de la période propre $T_0$ , puis la calculer.
Exprimer et calculer l'énergie électromagnétique totale initiale.
En déduire l'intensité maximale $I_m$ et justifier qu'aux instants où $u_C=0$ , l'énergie est purement magnétique.

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1. Mise en équation : pour l'oscillateur LC idéal, la période propre vaut $T_0=2\pi\sqrt{LC}$ .

T_0=2\pi\sqrt{0{,}25\times4{,}0\times10^{-6}}=\boxed{6{,}28\times10^{-3}\,\text{s}}.

2. Initialement, toute l'énergie électromagnétique est électrique :

E=\frac12 CU_0^2=\frac12\times4{,}0\times10^{-6}\times8{,}0^2=\boxed{1{,}28\times10^{-4}\,\text{J}}.

3. À l'intensité maximale, la conservation de l'énergie donne $\frac12 LI_m^2=E$ , donc

I_m=U_0\sqrt{\frac{C}{L}}=8{,}0\sqrt{\frac{4{,}0\times10^{-6}}{0{,}25}}=\boxed{3{,}20\times10^{-2}\,\text{A}}.

Lorsque $u_C=0$ , la charge $q=Cu_C$ est nulle : la partie électrique $q^2/(2C)$ s'annule et l'énergie est purement magnétique, égale à $LI_m^2/2$ .

Entraînement 02 / 04

Drill OL-B.2 — décrément logarithmique cohérent

3 questionsCorrigé masqué

Un oscillogramme d'un circuit RLC libre pseudo-périodique donne trois crêtes positives successives $U_0=10{,}0\,\text{V}$ , $U_1=5{,}00\,\text{V}$ et $U_2=2{,}50\,\text{V}$ . La pseudo-période vaut $T=6{,}93\,\text{ms}$ et la bobine a une inductance $L=0{,}20\,\text{H}$ .

Vérifier que les amplitudes suivent une même enveloppe exponentielle.
Calculer le décrément logarithmique $\delta$ , puis le coefficient d'amortissement $\alpha$ .
En déduire la résistance totale $R=2L\alpha$ et interpréter la décroissance observée.

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1. Les rapports de deux amplitudes successives sont identiques : $U_0/U_1=10{,}0/5{,}00=2$ et $U_1/U_2=5{,}00/2{,}50=2$ . Les trois points appartiennent donc à une même enveloppe exponentielle.

2. Le décrément logarithmique et le coefficient d'amortissement valent :

\delta=\ln\!\left(\frac{U_1}{U_2}\right)=\ln 2=\boxed{0{,}693},\qquad \alpha=\frac{\delta}{T}=\frac{0{,}693}{6{,}93\times10^{-3}}=\boxed{100\,\text{s}^{-1}}.

3. La relation littérale $\alpha=R/(2L)$ donne :

R=2L\alpha=2\times0{,}20\times100=\boxed{40\,\Omega}.

Le rapport constant entre crêtes confirme une décroissance exponentielle : le circuit est libre, amorti et pseudo-périodique.

Entraînement 03 / 04

Drill OL-B.3 — décider du régime à partir de la résistance

3 questionsCorrigé masqué

On étudie les oscillations libres de trois circuits RLC série avec la même bobine $L=0{,}10\,\text{H}$ et le même condensateur $C=10\,\mu\text{F}$ . Leurs résistances totales sont respectivement $R_1=50\,\Omega$ , $R_2=200\,\Omega$ et $R_3=400\,\Omega$ .

Établir la condition séparant les régimes et calculer la résistance critique $R_c=2\sqrt{L/C}$ .
Comparer chaque résistance à $R_c$ et nommer le régime correspondant (pseudo-périodique, critique ou apériodique).
Préciser dans quel circuit une pseudo-période peut être mesurée à l'oscilloscope et justifier.

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1. Mise en équation : la frontière entre les régimes est $\alpha=\omega_0$ , avec $\alpha=R/(2L)$ et $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ . On obtient donc $R_c=2\sqrt{L/C}$ .

\omega_0=\frac{1}{\sqrt{0{,}10\times10\times10^{-6}}}=1000\,\text{rad\cdot s}^{-1},\qquad R_c=2\sqrt{\frac{0{,}10}{10\times10^{-6}}}=\boxed{200\,\Omega}.

2. $R_1=50\,\Omega<R_c$ : régime pseudo-périodique. $R_2=200\,\Omega=R_c$ : régime critique. $R_3=400\,\Omega>R_c$ : régime apériodique.

3. Une pseudo-période ne se mesure que lorsque la réponse oscille : c'est donc le circuit de résistance $R_1=50\,\Omega$ . Les deux autres réponses reviennent vers zéro sans oscillation.

Entraînement 04 / 04

Drill OL-B.4 — identifier L et C par deux mesures

3 questionsCorrigé masqué

Pour identifier les composants d'un oscillateur RLC libre amorti, on retire d'abord la résistance et on mesure la période propre $T_0=3{,}14\,\text{ms}$ . On réintroduit ensuite une résistance variable : la réponse devient critique pour la résistance totale $R_c=400\,\Omega$ .

Établir les deux relations $LC=(T_0/2\pi)^2$ et $L/C=(R_c/2)^2$ .
En déduire séparément l'inductance $L$ et la capacité $C$ .
Pour $R=250\,\Omega$ , préciser le régime et dire si une pseudo-période reste mesurable.

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1. La période propre donne $LC=(T_0/2\pi)^2$ . À la limite critique, $R_c=2\sqrt{L/C}$ , donc $L/C=(R_c/2)^2$ .

LC=\left(\frac{3{,}14\times10^{-3}}{2\pi}\right)^2\approx2{,}50\times10^{-7}\,\text{H\cdot F},\qquad \frac{L}{C}=\left(\frac{400}{2}\right)^2=4{,}00\times10^4.

2. En multipliant puis en divisant ces deux relations :

L=\sqrt{(LC)\frac{L}{C}}\approx\boxed{0{,}100\,\text{H}},\qquad C=\sqrt{\frac{LC}{L/C}}\approx\boxed{2{,}50\,\mu\text{F}}.

3. Comme $R=250\,\Omega<R_c=400\,\Omega$ , le régime est pseudo-périodique : la réponse oscille et une pseudo-période reste mesurable à l'oscilloscope.

Méthode / Automatismes

Équa diff RLC libre : $\ddot{q} + (R/L)\dot{q} + q/(LC) = 0$ . Identifier $\alpha = R/(2L)$ et $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ .
Régimes : $\alpha < \omega_0$ → pseudo-périodique ; $\alpha = \omega_0$ → critique ; $\alpha > \omega_0$ → apériodique.
Décrément logarithmique : $\delta = \ln(U_n/U_{n+1}) = \alpha T$ .
Énergie dissipée sur $[0,T]$ : $W = \frac{1}{2}C(U_0^2 - U_1^2)$ (différence des énergies aux extrema successifs).

Pièges classiques

Confondre la pseudo-période $T$ (mesurée sur l'oscillogramme) et la période propre $T_0$ (calculée avec $L$ et $C$ ). Autre erreur : calculer l'énergie dissipée sur $[0,T]$ en oubliant que l'énergie à $t = T$ n'est pas nulle (le condensateur est encore partiellement chargé).

Variantes rencontrées : détermination de $R$ critique ( $R_c = 2\sqrt{L/C}$ ) ; régime apériodique ( $R$ très grand) ; RLC avec générateur (oscillations forcées, voir EL-E).