Masar
Masar
Bac Tunisie
Sciences physiques/OF-C
Entraîner la reconnaissance
OF-COscillations électriques forcées et résonance

Facteur de qualité et surtension à la résonance d'intensité

Idée directrice

Le document du bac sur le facteur de qualité relie résonance d'intensité, impédance minimale et surtension en régime sinusoïdal forcé.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

Relier Q à la surtension à la résonance d'intensité

Calculer la pulsation propre et L à partir de Q

Justifier la mesure de Q via la tension au condensateur

Sujet principal

Facteur de qualité en régime sinusoïdal forcé

4 questionsCorrigé masqué

Document. Un circuit série en régime sinusoïdal forcé, alimenté par un GBF d'amplitude UmU_m constante et de fréquence NN variable, présente autour d'une fréquence propre N0N_0 un comportement de résonance : maximum de courant pour N=N0N=N_0 (résonance d'intensité), et variation rapide du déphasage autour de N0N_0. Ces effets sont d'autant plus marqués que le facteur de qualité QQ est grand. On pose Q=Lω0/RtotQ=L\omega_0/R_{\mathrm{tot}} avec ω0=2πN0\omega_0=2\pi N_0 (pulsation propre) et RtotR_{\mathrm{tot}} la somme des résistances du maillage.

À la résonance d'intensité, l'impédance du circuit forcé est minimale et le rapport UC,m/UmU_{C,m}/U_m vaut QQ : QQ chiffre la surtension aux bornes du condensateur. Il est plus commode de relever la tension aux bornes du condensateur que celle aux bornes de l'élément inductif, car ce dernier possède en général une part rr non nulle dans RtotR_{\mathrm{tot}}.

Exemple chiffré du document. Um=6,0 VU_m=6{,}0\,\mathrm{V}, Q=10Q=10, Rtot=r=10 ΩR_{\mathrm{tot}}=r=10\,\Omega, C=10 μFC=10\,\mu\mathrm{F}, régime d'oscillations forcées à la résonance d'intensité.

  1. Dégager du document les deux faits qui caractérisent la résonance d'intensité et le voisinage de N0N_0 en régime forcé.
  2. Justifier le nom « facteur de surtension ». Calculer UC,mU_{C,m} pour l'exemple. Application numérique.
  3. À partir de Q=1/(RtotCω0)Q=1/(R_{\mathrm{tot}} C \omega_0), calculer la pulsation propre ω0\omega_0, la fréquence de résonance N0N_0 et LL. Applications numériques avec unités.
  4. Pourquoi détermine-t-on QQ de préférence via la tension au condensateur à la résonance d'intensité ?
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. En régime sinusoïdal forcé : (i) maximum de courant à la résonance d'intensité N=N0N=N_0 ; (ii) variation rapide de la phase du courant par rapport à la tension lorsque la fréquence est voisine de la fréquence propre N0N_0.

2. À la résonance d'intensité, UC,m=QUmU_{C,m}=Q U_m : QQ multiplie l'amplitude d'alimentation. D'où l'appellation facteur de surtension.

UC,m=10×6,0=60 V.U_{C,m}=10\times6{,}0=60\,\mathrm{V}.

3. Avec Q=1/(RtotCω0)Q=1/(R_{\mathrm{tot}} C \omega_0) :

ω0=1QRtotC=110×10×10×10−6=1,0×103 rad⋅s−1.\omega_0=\dfrac{1}{Q R_{\mathrm{tot}} C}=\dfrac{1}{10\times10\times10\times10^{-6}}=1{,}0\times10^{3}\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}.
N0=ω02π≈159 Hz,L=QRtotω0=10×10103=0,10 H.N_0=\dfrac{\omega_0}{2\pi}\approx159\,\mathrm{Hz},\qquad L=\dfrac{Q R_{\mathrm{tot}}}{\omega_0}=\dfrac{10\times10}{10^{3}}=0{,}10\,\mathrm{H}.

On retrouve Lω0=RtotQ=100 ΩL\omega_0=R_{\mathrm{tot}} Q=100\,\Omega et, à la résonance d'intensité, l'impédance minimale Zmin⁡=RtotZ_{\min}=R_{\mathrm{tot}}.

4. L'élément d'inductance LL contribue aussi par rr à RtotR_{\mathrm{tot}} : la tension à ses bornes n'est pas LωIL\omega I pure. Il est plus commode de mesurer la tension efficace aux bornes du condensateur pour calculer QQ à la résonance d'intensité du circuit forcé.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill OF-C.1 — Q, pulsation propre et surtension en régime forcé

3 questionsCorrigé masqué

En régime sinusoïdal forcé, un circuit série a Rtot=20 ΩR_{\mathrm{tot}}=20\,\Omega, L=0,20 HL=0{,}20\,\mathrm{H} et C=5,0 μFC=5{,}0\,\mu\mathrm{F}. L'amplitude d'alimentation est Um=4,0 VU_m=4{,}0\,\mathrm{V}.

  1. Calculer la pulsation propre ω0\omega_0 et la fréquence de résonance d'intensité N0N_0.
  2. Calculer le facteur de qualité Q=Lω0/RtotQ=L\omega_0/R_{\mathrm{tot}}.
  3. En déduire UC,mU_{C,m} à la résonance d'intensité. Interpréter QQ comme facteur de surtension du circuit forcé.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. À la résonance d'intensité, ω0=1/LC\omega_0=1/\sqrt{LC} :

ω0=10,20×5,0×10−6=1,0×103 rad⋅s−1,N0=ω02π≈159 Hz.\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}20\times5{,}0\times10^{-6}}}=1{,}0\times10^{3}\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}},\quad N_0=\dfrac{\omega_0}{2\pi}\approx159\,\mathrm{Hz}.

2.

Q=Lω0Rtot=0,20×10320=10.Q=\dfrac{L\omega_0}{R_{\mathrm{tot}}}=\dfrac{0{,}20\times10^{3}}{20}=10.

3. UC,m=QUm=10×4,0=40 VU_{C,m}=Q U_m=10\times4{,}0=40\,\mathrm{V}. En régime forcé, à la résonance d'intensité, l'amplitude aux bornes du condensateur est QQ fois l'amplitude du GBF : QQ chiffre la surtension. L'impédance est alors minimale et égale à RtotR_{\mathrm{tot}}.

Méthode / Automatismes

À la résonance d'intensité : impédance minimale, Q=Lω0/Rtot=1/(RtotCω0)Q=L\omega_0/R_{\mathrm{tot}}=1/(R_{\mathrm{tot}}C\omega_0), UC,m=QUmU_{C,m}=Q U_m.

Pièges classiques

Confondre fréquence de résonance d'intensité et fréquence qui maximise UCU_C hors cas peu amorti ; oublier que QQ multiplie l'amplitude d'alimentation.