RL-EDipôle RL

Bobine purement inductive — u_B(t), τ, L et énergie (bac 2021 contrôle)

Idée directrice

Sur un circuit RL série à bobine pure ( $r=0$ ), $u_B(t)=L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t=E\,e^{-t/\tau}$ avec $\tau=L/R$ . On lit $E$ et $\tau$ sur le chronogramme de $u_B$ , on déduit $L=\tau R$ et l'énergie magnétique $\tfrac12 L I_0^2$ en régime permanent.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« bobine purement inductive »

« uBM(t) = E e^{-t/τ} »

« L = τ R1 = 0,1 H »

« EL = ½ L I0² »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsCorrigé masqué

Un générateur idéal de f.é.m. $E$ alimente, à la fermeture de $K$ ( $t=0$ ), un circuit RL série formé d'une bobine $(L,r)$ et d'un résistor $R_1=50\,\Omega$ (esprit bac 2021 contrôle). On visualise la tension $u_B(t)$ aux bornes de la bobine. En régime permanent, $u_B=0$ ; à $t=0^+$ , $u_B(0)=5{,}5\,\mathrm{V}$ . La courbe atteint environ $0{,}37\,u_B(0)$ à $t=2{,}0\,\mathrm{ms}$ .

Interpréter le retard à l'établissement du courant : nommer le phénomène et en déduire le rôle de la bobine.
En régime permanent, justifier que $r=0$ (bobine purement inductive) et en déduire $E$ .
Écrire l'équation différentielle de $i(t)$ (loi des mailles) et rappeler $u_B(t)=E\,e^{-t/\tau}$ avec $\tau=L/R_1$ .
Lire $\tau$ sur le chronogramme, calculer l'inductance $L$ , l'intensité finale $I_0$ et l'énergie magnétique $E_L$ emmagasinée en régime permanent.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. À la fermeture, la bobine s'oppose à l'établissement du courant par un courant d'auto-induction (loi de Lenz) : le courant ne saute pas. (Corrigé 2021 contrôle : « la bobine s'oppose au départ à l'établissement du courant ».)

2. En régime permanent, $\mathrm{d}i/\mathrm{d}t=0$ donc $u_B=ri=0$ sur la courbe $\Rightarrow r=0\,\Omega$ : bobine purement inductive. Or $u_B(0)=E$ pour une bobine pure $\Rightarrow E=5{,}5\,\mathrm{V}$ .

3. Loi des mailles : $E=R_1 i+L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$ , soit $\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+\dfrac{R_1}{L}i=\dfrac{E}{L}$ . Solution $i(t)=I_0(1-e^{-t/\tau})$ avec $\tau=L/R_1$ et $I_0=E/R_1$ . Alors $u_B(t)=L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t=E\,e^{-t/\tau}$ .

4. À $t=\tau$ , $u_B(\tau)=E/e\approx0{,}37E$ : la lecture $t=2{,}0\,\mathrm{ms}$ donne $\tau=2{,}0\,\mathrm{ms}$ . $L=\tau R_1=2{,}0\times10^{-3}\times50=\mathbf{0{,}10\,H}$ . $I_0=E/R_1=5{,}5/50=\mathbf{0{,}11\,A}$ . $E_L=\tfrac12 L I_0^2=\tfrac12\times0{,}10\times(0{,}11)^2=\mathbf{6{,}05\times10^{-4}\,J}$ (corrigé : $L=0{,}1\,\mathrm{H}$ , $E_L=6{,}05\cdot10^{-4}\,\mathrm{J}$ ).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill RL-E.1 — Ouverture du circuit et énergie de la bobine

2 questionsCorrigé masqué

Même bobine pure ( $L=0{,}10\,\mathrm{H}$ , $r=0$ ) du montage précédent, parcourue en régime permanent par $I_0=0{,}11\,\mathrm{A}$ . On ouvre l'interrupteur $K$ : le courant diminue. Une diode est placée de façon à laisser passer le courant d'auto-induction créé par la bobine.

Expliquer, par la loi de Lenz, pourquoi la bobine s'oppose à la diminution de $i$ et quel est le sens du courant dans la diode.
Quelle énergie alimente le courant dans la diode juste après l'ouverture ? Calculer sa valeur numérique.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. À l'ouverture, $i$ tend à diminuer : la bobine crée une f.é.m. d'auto-induction qui s'oppose à cette diminution (Lenz). Le courant induit a donc le même sens que $I_0$ avant ouverture ; la diode est polarisée dans ce sens passant (corrigé 2021C : « le sens du courant est le sens passant de la diode »).

2. C'est l'énergie magnétique emmagasinée par la bobine en régime permanent qui alimente ce courant : $E_L=\tfrac12 L I_0^2=\tfrac12\times0{,}10\times(0{,}11)^2=\mathbf{6{,}05\times10^{-4}\,J}$ (corrigé : « C'est l'énergie emmagasinée par la bobine », $E_L=6{,}05\cdot10^{-4}\,\mathrm{J}$ ). Sans résistance série imposée après ouverture, cette énergie se dissipe dans le circuit de la diode et les pertes de la bobine.

Méthode / Automatismes

Pour une bobine pure, $u_B(0)=E$ et $u_B(\tau)=E/e\approx0{,}37E$ — lire $\tau$ sur $u_B$ , pas sur $u_R$ .
Si $u_B(\infty)=0$ , alors $r=0$ et $\tau=L/R$ (sans $r$ ).
Énergie magnétique : toujours $\tfrac12 L I_0^2$ en régime permanent.

Pièges classiques

Lire $\tau$ à $0{,}63E$ sur $u_B$ (c'est la lecture de $u_R$ ou de $i$ ) ; écrire $\tau=L/(R+r)$ alors que $r=0$ a été prouvé ; confondre $u_B(0)$ et $u_R(0)$ .