NU-DPhysique nucléaire

Décroissance radioactive — exploiter un document et un tableau

Idée directrice

Ce scénario entraîne le format documentaire du Bac : extraire une demi-vie, confronter un tableau de nombres de noyaux aux isotopes décrits, puis reconstruire la population initiale. Le calcul reste subordonné à la lecture du document.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Donner la définition de la demi-vie » ; « identifier l’échantillon étudié » ; « déterminer la valeur de $N_0$ »

Sujet principal

Azote 13 — identifier l’échantillon par son tableau de décroissance

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Document — radioactivité artificielle, Bac 2022. Le phosphore 30 radioactif voit son nombre de noyaux diminuer de moitié toutes les $3\,\text{min}\,15\,\text{s}$ . Le même document mentionne un isotope d’azote 13 dont la période radioactive vaut $14\,\text{min}$ . Le tableau ci-dessous concerne un échantillon qui peut être soit du phosphore 30, soit de l’azote 13.

Pour rendre les lectures déterminantes accessibles : le tableau donne $N(14\,\text{min})=5{,}00\times10^6$ noyaux et $N(28\,\text{min})=2{,}50\times10^6$ noyaux.

Donner la définition de la demi-vie $T$ d’une substance radioactive.
Exploiter les valeurs à $14\,\text{min}$ et $28\,\text{min}$ pour déterminer la demi-vie de l’échantillon.
Identifier l’échantillon étudié parmi le phosphore 30 et l’azote 13. Justifier avec les données du document.
Déterminer le nombre initial $N_0$ de noyaux radioactifs.

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1. Définition. La demi-vie est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux initialement présents dans un échantillon d’une substance radioactive est réduit de moitié.

2. Exploitation du tableau. Entre $t=14\,\text{min}$ et $t=28\,\text{min}$ , le nombre de noyaux radioactifs passe de $5{,}00\times10^6$ à $2{,}50\times10^6$ : il est divisé par deux. La demi-vie vaut donc $\boxed{T=14\,\text{min}}$ .

3. Identification. Le document attribue une période de $14\,\text{min}$ à l’azote 13, contre $3\,\text{min}\,15\,\text{s}$ au phosphore 30. L’échantillon est donc l’ $\boxed{\text{azote 13}}$ .

4. Population initiale. Après une demi-vie, $N=N_0/2$ . Or $N(14\,\text{min})=5{,}00\times10^6$ , d’où :

N_0=2N(14)=2\times5{,}00\times10^6=\boxed{1{,}00\times10^7\ \text{noyaux}}.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill NU-D.1 — fluor 18 : atteindre un millième de l’activité initiale

3 questionsCorrigé masqué

Document — médecine nucléaire. Le fluor 18 est un isotope radioactif dont la demi-vie vaut $T=108\,\text{min}$ . Sa courte demi-vie favorise une élimination rapide et limite l’accumulation de déchets radioactifs. On cherche la date à laquelle l’activité détectable ne représente plus qu’un millième de l’activité initiale.

Relever la demi-vie du fluor 18 et l’avantage associé à sa faible valeur.
À partir de $A(t)=A_0\mathrm{e}^{-\lambda t}$ et $\lambda=\ln 2/T$ , établir l’expression de la date $t$ pour laquelle $A(t)=A_0/1000$ .
Calculer cette date en minutes puis en heures.

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1. Extraction du document. La demi-vie du fluor 18 vaut $\boxed{T=108\,\text{min}}$ . Cette demi-vie courte favorise une élimination rapide et un faible impact dans l’accumulation des déchets.

2. Mise en équation. La constante radioactive vaut $\lambda=\ln 2/T$ . Ainsi :

\frac{A_0}{1000}=A_0\mathrm{e}^{-(\ln2/T)t}\quad\Longrightarrow\quad t=T\,\frac{\ln1000}{\ln2}.

3. Application numérique.

t=108\,\frac{\ln1000}{\ln2}=\boxed{1076\,\text{min}}=\boxed{17{,}9\,\text{h}}.

Entraînement 02 / 02

Drill NU-D.2 — du phosphore 30 au silicium : identifier la radioactivité β⁺

3 questionsCorrigé masqué

Document — radioactivité artificielle. Le phosphore 30, produit artificiellement, se transforme spontanément par émission d’un positon en silicium 30 stable.

Écrire l’équation de désintégration du phosphore 30 sous la forme $^{30}_{15}\mathrm{P}\rightarrow{}^{30}_{Z}\mathrm{Si}+{}^{0}_{1}\mathrm{e}$ .
Appliquer les lois de conservation pour déterminer le nombre de charge $Z$ du silicium.
Nommer le type de radioactivité et préciser si cette transformation est provoquée ou spontanée, en citant le document.

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1–2. Bilan des nombres de masse et de charge.

{}^{30}_{15}\mathrm{P}\longrightarrow{}^{30}_{Z}\mathrm{Si}+{}^{0}_{1}\mathrm{e}.

Le nombre de masse est conservé : $30=30+0$ . Pour la charge, $15=Z+1$ , donc $\boxed{Z=14}$ .

3. Identification documentaire. L’émission d’un positon caractérise une radioactivité $\boxed{\beta^+}$ . La transformation est spontanée : le document indique explicitement que le phosphore 30 « se transforme spontanément ».

Méthode / Automatismes

Chercher deux dates séparées de $T$ pour lesquelles la seconde population vaut la moitié de la première.
Identifier l’isotope seulement après avoir confronté la demi-vie lue aux valeurs du document.
Pour remonter à $N_0$ , compter le nombre de demi-vies écoulées et multiplier par la puissance de deux correspondante.

Pièges classiques

Ne pas choisir l’isotope à partir de son seul nom : l’identification doit être justifiée par la diminution de moitié observée dans le tableau.

Variantes rencontrées : identifier un isotope par un tableau $N(t)$ ; exploiter une activité médicale jusqu’à un seuil ; reconnaître une émission $\beta^+$ dans un document.