LU-CModèle ondulatoire de la lumière

Diffraction par une fente : détermination de $\lambda$ ou de la largeur de fente

Idée directrice

La trajectoire de cet exercice est d'exploiter la figure de diffraction par une fente de largeur $a$ pour relier l'écart angulaire $\theta = \lambda/a$ à la position du premier minimum sombre, puis de déduire $\lambda$ ou $a$ à partir des mesures sur l'écran, et de discuter l'effet d'une réduction de la largeur de fente sur l'étalement de la tache centrale.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Déterminer la largeur de la fente à partir de la figure de diffraction » ; « Expliquer pourquoi une fente plus étroite donne une tache plus large » ; « Calculer l'écart angulaire du premier minimum » ; « Comparer les figures de diffraction pour deux longueurs d'onde »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un faisceau laser monochromatique de longueur d'onde $\lambda = 632\,\text{nm}$ éclaire perpendiculairement une fente de largeur $a$ inconnue. L'écran est placé à $D = 2{,}50\,\text{m}$ de la fente. On observe une figure de diffraction composée d'une tache centrale brillante entourée de taches secondaires.

Rappeler la condition donnant la position angulaire $\theta$ du premier minimum d'intensité (première frange sombre).
En approximation des petits angles ( $\theta \approx \tan\theta$ ), exprimer la demi-largeur $L_{1/2}$ de la tache centrale en fonction de $\lambda$ , $D$ et $a$ .
On mesure que la largeur totale de la tache centrale (entre les deux premiers minima) vaut $\ell = 7{,}90\,\text{mm}$ .
1. Calculer la demi-largeur $L_{1/2}$ .
2. En déduire la largeur de fente $a$ .
On remplace la fente par une autre de largeur $a' = a/2$ . Décrire qualitativement et calculer la nouvelle largeur de la tache centrale.
On remplace maintenant le laser rouge par un laser vert de longueur d'onde $\lambda_{\text{v}} = 532\,\text{nm}$ , en conservant la fente de largeur $a$ initiale et la même distance $D$ .
1. Calculer la nouvelle largeur de la tache centrale.
2. Comparer avec le cas du laser rouge et commenter.

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1. *Idée : le premier minimum de diffraction se produit quand la différence de marche entre les deux bords de la fente vaut $\lambda$ .*

\sin\theta = \frac{\lambda}{a} \approx \theta \quad (\text{petits angles})

2. *Idée : en petits angles, $\tan\theta \approx \theta$ , donc $L_{1/2} = D\tan\theta \approx D\theta$ .*

L_{1/2} = D\,\frac{\lambda}{a}

3.(a) La largeur totale est $\ell = 2\,L_{1/2}$ .

L_{1/2} = \frac{\ell}{2} = \frac{7{,}90}{2} = \boxed{3{,}95\,\text{mm}}

3.(b)

a = \frac{\lambda\,D}{L_{1/2}} = \frac{632\times10^{-9}\times2{,}50}{3{,}95\times10^{-3}} = \boxed{4{,}0\times10^{-4}\,\text{m} = 0{,}40\,\text{mm}}

4. *Idée : $\ell \propto 1/a$ — diviser $a$ par 2 multiplie $\ell$ par 2 (la diffraction est plus importante).*
$\ell' = 2\,\times\,\ell = 2\times7{,}90 = \boxed{15{,}8\,\text{mm}}$ . La tache centrale est deux fois plus large.

5.(a) *Idée : même formule avec $\lambda_{\text{v}}$ .*

\ell_{\text{v}} = \frac{2\,\lambda_{\text{v}}\,D}{a} = \frac{2\times532\times10^{-9}\times2{,}50}{4{,}0\times10^{-4}} = \boxed{6{,}65\,\text{mm}}

5.(b) $\ell_{\text{v}} = 6{,}65\,\text{mm} < \ell_{\text{r}} = 7{,}90\,\text{mm}$ : la tache verte est plus étroite que la tache rouge. Cela confirme que $\ell \propto \lambda$ : une longueur d'onde plus courte donne un étalement moindre.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill LU-C.1 — étalonner la diffraction pour mesurer un cheveu

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Pour étalonner un montage de diffraction, on place successivement cinq fils calibrés devant un laser. À distance d'écran constante, on mesure la largeur $L$ de la tache centrale : $a\,(\mu\text{m}) : 120\;|\;100\;|\;80\;|\;60\;|\;40$ et $L\,(\text{mm}) : 16\;|\;20\;|\;24\;|\;33\;|\;49$ . On pose $X=1/a$ , exprimé en $10^4\,\text{m}^{-1}$ .

Calculer les cinq produits $aL$ . Montrer que les mesures sont compatibles avec une relation $L=K/a$ .
Calculer la valeur moyenne de $K=aL$ , d'abord en $\mu\text{m}\cdot\text{mm}$ puis en $\text{m}^2$ . Relier cette valeur à la pente de la droite d'étalonnage.
Le fil est remplacé par un cheveu et on mesure $L_{\text{ch}}=30\,\text{mm}$ .
1. Déterminer graphiquement $X_{\text{ch}}$ , puis en déduire un ordre de grandeur du diamètre du cheveu.
2. Calculer le diamètre à l'aide de $a=K/L_{\text{ch}}$ et comparer les deux déterminations.

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1. Validation du modèle. Les produits $aL$ valent respectivement $1920$ , $2000$ , $1920$ , $1980$ et $1960\,\mu\text{m}\cdot\text{mm}$ . Leur faible dispersion autour d'une même valeur montre que $aL\approx K$ , donc $\boxed{L\approx K/a}$ .

K_{\mathrm{moy}}=\frac{1920+2000+1920+1980+1960}{5}=1956\,\mu\mathrm{m}\cdot\mathrm{mm}=\boxed{1{,}956\times10^{-6}\,\mathrm{m}^2}

2. Pente. Sur la figure, $L$ est une fonction linéaire de $X=1/a$ : la droite passe au voisinage de l'origine. Comme l'axe horizontal exprime $X$ en $10^4\,\text{m}^{-1}$ , sa pente vaut environ $19{,}6\,\text{mm}$ par unité de $X$ , ce qui correspond à $K\approx1{,}96\times10^{-6}\,\text{m}^2$ .

3. Lecture graphique. D'après la droite d'étalonnage, le niveau $L=30\,\text{mm}$ donne $X_{\text{ch}}\approx1{,}5$ à $1{,}55$ . Ainsi $a_{\text{ch}}=1/(X_{\text{ch}}\times10^4)$ est voisin de $6{,}5\times10^{-5}\,\text{m}$ , soit environ $65\,\mu\text{m}$ .

a_{\mathrm{ch}}=\frac{K}{L_{\mathrm{ch}}}=\frac{1{,}956\times10^{-6}}{30\times10^{-3}}=6{,}52\times10^{-5}\,\mathrm{m}=\boxed{65{,}2\,\mu\mathrm{m}}

Comparaison. La valeur calculée appartient à l'intervalle lu graphiquement ; les deux méthodes sont cohérentes. Compte tenu de la précision des mesures, on retient $\boxed{a_{\text{ch}}\approx65\,\mu\text{m}}$ .

Entraînement 02 / 02

Drill LU-C.2 — diffraction dans l'eau et indice

4 questionsCorrigé masqué

On étudie la figure de diffraction de la lumière produite par un laser de longueur d'onde dans l'air $\lambda_{\mathrm{air}}=650\,\text{nm}$ éclairant un fil calibré de diamètre $a=100\,\mu\text{m}$ . La distance fil–écran reste constante. La largeur totale de la tache centrale vaut $L_{\mathrm{air}}=20{,}0\,\text{mm}$ dans l'air et $L_{\mathrm{eau}}=15{,}0\,\text{mm}$ lorsque le fil et l'écran sont immergés dans l'eau.

Parmi la couleur, la célérité et la fréquence, identifier la ou les grandeur(s) qui ne change(nt) pas lors du passage de l'air dans l'eau.
À $a$ et $D$ fixés, établir la relation $\lambda_{\mathrm{eau}}/\lambda_{\mathrm{air}}=L_{\mathrm{eau}}/L_{\mathrm{air}}$ .
Calculer $\lambda_{\mathrm{eau}}$ , puis l'indice $n=\lambda_{\mathrm{air}}/\lambda_{\mathrm{eau}}$ .
Interpréter physiquement la diminution de la largeur de la tache dans l'eau.

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1. Invariants. La fréquence est imposée par la source et ne change pas à l'interface ; la couleur, associée à cette fréquence, reste la même. En revanche, la célérité diminue dans l'eau.

2. Mise en équation. Dans chaque milieu, $L=2\lambda D/a$ . Le montage conserve $a$ et $D$ , donc le quotient des deux relations donne :

\frac{\lambda_{\mathrm{eau}}}{\lambda_{\mathrm{air}}}=\frac{L_{\mathrm{eau}}}{L_{\mathrm{air}}}.

3. Applications numériques.

\lambda_{\mathrm{eau}}=650\times\frac{15{,}0}{20{,}0}=\boxed{487{,}5\,\text{nm}},\qquad n=\frac{650}{487{,}5}=\boxed{1{,}33}.

4. Interprétation. La fréquence restant constante, la baisse de célérité entraîne une longueur d'onde plus courte dans l'eau. Comme $L\propto\lambda$ à géométrie fixée, la tache centrale devient plus étroite : $L_{\mathrm{eau}}/L_{\mathrm{air}}=0{,}75$ .

Méthode / Automatismes

Formule clé : $\theta = \lambda/a$ (premier minimum) ; largeur de tache centrale : $\ell = 2\lambda D/a$ . Retenir que $\ell \propto \lambda$ et $\ell \propto 1/a$ .
Petits angles : valide si $\ell \ll D$ . Ici $\ell \approx 8\,\text{mm}$ et $D = 2{,}50\,\text{m}$ , donc $\ell/D \approx 3\times10^{-3} \ll 1$ .
Pour trouver $a$ : $a = 2\lambda D / \ell$ (mesurer la largeur totale de la tache, pas seulement la moitié).
Distinguer diffraction (une fente) et interférences (deux fentes) : la tache de diffraction module l'enveloppe des franges d'interférence de Young.

Pièges classiques

Piège classique : mesurer la demi-largeur $L_{1/2}$ et la confondre avec la largeur totale $\ell$ dans la formule — penser à bien identifier ce qui est mesuré. Autre piège : croire que réduire la fente rend la tache centrale plus petite (raisonnement géométrique intuitif mais faux) — c'est le contraire : une fente plus étroite diffracte davantage et élargit la tache.

Variantes rencontrées : on donne la largeur de la tache et la longueur d'onde et on demande $a$ (identification de la fente) ; on compare deux figures de diffraction obtenues avec deux fentes différentes pour déduire le rapport $a_1/a_2$ ; on utilise un réseau de diffraction (formule $d\sin\theta = p\lambda$ ) et on demande la longueur d'onde à partir de l'angle de diffraction d'ordre 1.

Diffraction par une fente : détermination de λ\lambdaλ ou de la largeur de fente

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Diffraction par une fente : détermination de $\lambda$ ou de la largeur de fente