RL-ADipôle RL

Dipôle RL — établissement du courant

Idée directrice

La bobine s'oppose à toute variation brusque du courant : à $t=0^+$ le courant reste nul même si la tension est appliquée. L'exercice demande d'établir l'équation différentielle en $i(t)$ , de la résoudre (solution $i(t) = I_0(1-e^{-t/\tau})$ avec $\tau = L/R$ ), puis d'exploiter un oscillogramme pour lire $\tau$ et en déduire $L$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Établir l'équation différentielle vérifiée par $i(t)$ » ; « Montrer que $\tau = L/(R+r)$ » ; « Déterminer graphiquement $\tau$ à partir de l'oscillogramme de $u_R$ »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un circuit RL série est composé d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r = 10\,\Omega$ , d'un résistor $R = 90\,\Omega$ et d'un générateur de f.é.m. $E = 10\,\text{V}$ (résistance interne nulle). On ferme l'interrupteur $K$ à $t = 0$ , le courant étant nul avant.

En appliquant la loi des mailles, établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité $i(t)$ .
1. Montrer que $\dfrac{L}{R+r}\,\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + i = \dfrac{E}{R+r}$ .
2. Vérifier que $i(t) = I_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ , avec $I_0 = \dfrac{E}{R+r}$ et $\tau = \dfrac{L}{R+r}$ , est solution.
Calculer $I_0$ , la valeur finale du courant.
L'oscillogramme de $u_R(t) = Ri(t)$ montre que la tension atteint $63\,\%$ de sa valeur finale à $t = 5{,}0\,\text{ms}$ . En déduire $\tau$ , puis la valeur de $L$ .
Expliquer le rôle de la bobine lors de l'établissement du courant. Que se passe-t-il à $t = 5\tau$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.(a) *Idée : loi des mailles + $u_L = L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ , où $u_L$ est la tension aux bornes de la partie inductive ( $L$ et $r$ ).*

Loi des mailles : $E = Ri + L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + ri = (R+r)i + L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ . En divisant par $(R+r)$ :

\frac{L}{R+r}\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + i = \frac{E}{R+r}.

1.(b) Idée : dériver la solution candidate et substituer.

On a $\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = \dfrac{I_0}{\tau}e^{-t/\tau}$ . En substituant dans l'équation :

\frac{L}{R+r}\cdot\frac{I_0}{\tau}e^{-t/\tau} + I_0(1-e^{-t/\tau}) = I_0\,e^{-t/\tau} + I_0 - I_0\,e^{-t/\tau} = I_0 = \frac{E}{R+r}. \checkmark

Condition initiale : $i(0) = I_0(1-1) = 0$ . $\checkmark$ (Le courant est bien nul à $t=0$ , la bobine s'oppose à la variation.)

2. *Idée : régime permanent atteint quand $\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0$ , la bobine se comporte comme un conducteur de résistance $r$ .*

I_0 = \frac{E}{R+r} = \frac{10}{90+10} = \boxed{0{,}10\,\text{A}}.

3. *Idée : $u_R(\tau) = R\,I_0(1-e^{-1}) = 0{,}632\times R\,I_0$ , donc $\tau$ est la date à $63\,\%$ .*

\tau = t_{63} = 5{,}0\,\text{ms}.

L = \tau(R+r) = 5{,}0\times10^{-3}\times100 = \boxed{0{,}50\,\text{H}}.

4. La bobine crée une f.é.m. d'auto-induction $e_L = -L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ qui s'oppose à l'augmentation du courant (loi de Lenz). Le courant croît exponentiellement jusqu'à sa valeur finale $I_0$ . À $t = 5\tau$ , $i(5\tau) = I_0(1-e^{-5}) \approx 0{,}993\,I_0$ : le régime permanent est pratiquement atteint, la bobine se comporte comme un simple conducteur ohmique de résistance $r$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 03

Drill RL-A.1 — identifier la résistance interne de la bobine

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un générateur idéal $E=12{,}0\,\text{V}$ alimente en série un résistor $R=80\,\Omega$ et une bobine réelle $(L,r)$ . En régime permanent, on mesure $u_R=9{,}6\,\text{V}$ et $u_b=2{,}4\,\text{V}$ aux bornes de la bobine. Le chronogramme de $u_R(t)$ atteint $63\,\%$ de sa valeur finale à $t=4{,}0\,\text{ms}$ .

Calculer l'intensité finale et montrer que la bobine n'est pas idéale.
Déterminer sa résistance interne $r$ .
Déduire la constante de temps puis l'inductance $L$ .

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1. Régime permanent. $I_\infty=u_R/R=9{,}6/80=\boxed{0{,}120\,\text{A}}$ . Une bobine idéale aurait alors une tension nulle ; la mesure $u_b=2{,}4\,\text{V}$ révèle une résistance interne.

2. Résistance interne. En régime permanent, $\mathrm{d}i/\mathrm{d}t=0$ et $u_b=rI_\infty$ . Ainsi $r=2{,}4/0{,}120=\boxed{20\,\Omega}$ . La loi des mailles donne bien $(R+r)I_\infty=100\times0{,}120=12{,}0\,\text{V}$ .

3. Paramètre dynamique. La date à $63\,\%$ est la constante de temps : $\tau=4{,}0\,\text{ms}$ . Comme $\tau=L/(R+r)$ , $L=\tau(R+r)=4{,}0\times10^{-3}\times100=\boxed{0{,}40\,\text{H}}$ .

Entraînement 02 / 03

Drill RL-A.2 — exploiter la pente initiale

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans un circuit RL série soumis à un échelon $E=9{,}0\,\text{V}$ , un résistor $R=120\,\Omega$ est associé à une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$ . L'intensité $i$ part de zéro avec une pente initiale $(\mathrm{d}i/\mathrm{d}t)_0=30\,\text{A}\cdot\text{s}^{-1}$ et tend vers $I_\infty=60\,\text{mA}$ .

Écrire la loi des mailles à $t=0^+$ et en déduire $L$ .
Exploiter le régime permanent pour déterminer $r$ .
Calculer $\tau$ de deux façons indépendantes et vérifier leur accord.

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1. Loi des mailles. $E=(R+r)i+L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$ . À $t=0^+$ , $i=0$ , donc $E=L(\mathrm{d}i/\mathrm{d}t)_0$ . Ainsi $L=9{,}0/30=\boxed{0{,}30\,\text{H}}$ .

2. Régime permanent. Lorsque la dérivée s'annule, $E=(R+r)I_\infty$ . Donc $R+r=9{,}0/0{,}060=150\,\Omega$ et $r=150-120=\boxed{30\,\Omega}$ .

3. Double contrôle. D'une part $\tau=L/(R+r)=0{,}30/150=\boxed{2{,}0\,\text{ms}}$ . D'autre part la pente initiale de $i=I_\infty(1-e^{-t/\tau})$ vaut $I_\infty/\tau$ , donc $\tau=0{,}060/30=2{,}0\,\text{ms}$ . Les deux déterminations concordent.

Entraînement 03 / 03

Drill RL-A.3 — dimensionner la résistance pour respecter un délai

3 questionsCorrigé masqué

Une bobine réelle d'inductance $L=0{,}24\,\text{H}$ et de résistance interne $r=20\,\Omega$ est alimentée sous $E=12\,\text{V}$ à travers un résistor réglable $R$ . On veut que le courant atteigne au moins $95\,\%$ de sa valeur finale en $12{,}0\,\text{ms}$ .

À partir de $i(t)=I_\infty(1-e^{-t/\tau})$ , exprimer le temps $t_{95}$ en fonction de $\tau$ .
Déterminer la valeur minimale de $R$ qui respecte le délai.
Choisir une valeur entière pratique de $R$ , puis calculer $\tau$ , $t_{95}$ et le courant final correspondant.

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1. Résolution littérale. À $95\,\%$ , $0{,}95=1-e^{-t_{95}/\tau}$ , donc $e^{-t_{95}/\tau}=0{,}05$ et $t_{95}=-\tau\ln(0{,}05)=\tau\ln20\approx2{,}996\tau$ .

2. Dimensionnement. La condition $t_{95}\leq12{,}0\,\text{ms}$ impose $\tau\leq12{,}0/\ln20=4{,}006\,\text{ms}$ . Or $\tau=L/(R+r)$ , donc $R+r\geq L/\tau=0{,}24/(4{,}006\times10^{-3})=59{,}91\,\Omega$ . Ainsi $R\geq39{,}91\,\Omega$ .

3. Choix et contrôle. On retient $\boxed{R=40\,\Omega}$ . Alors $\tau=0{,}24/(40+20)=\boxed{4{,}00\,\text{ms}}$ et $t_{95}=4{,}00\ln20=\boxed{11{,}98\,\text{ms}}$ , donc le délai est respecté. En régime permanent, $I_\infty=E/(R+r)=12/60=\boxed{0{,}200\,\text{A}}$ .

Méthode / Automatismes

Loi des mailles RL : $E = (R+r)i + L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ , d'où $\tau = L/(R+r)$ .
Condition initiale incontournable : $i(0^+) = 0$ (la bobine interdit le saut de courant).
Valeur finale : $I_0 = E/(R+r)$ (la bobine en régime permanent = résistance $r$ ).
Lire $\tau$ sur l'oscillogramme de $u_R$ (tangente ou point à $63\,\%$ ), puis $L = \tau(R+r)$ .

Pièges classiques

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans le calcul de $I_0$ et de $\tau$ . Autre erreur : écrire $i(0) = I_0$ (conditions initiales nulles ignorées). Confondre $\tau = L/R$ (sans $r$ ) et $\tau = L/(R+r)$ (avec $r$ ).

Variantes rencontrées : ouverture du circuit (extinction du courant, $i(t) = I_0\,e^{-t/\tau}$ ) ; calcul de l'énergie magnétique $W_L = \frac{1}{2}Li^2$ en fonction du temps ; comparaison de la durée de charge avec celle d'un circuit RC.

Où ce scénario est tombé

Bac 2018 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (RC/RL identification)attestéIdentification condensateur/bobine via courbes oscilloscope.

Bac 2019 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (RC puis RLC libre)attestéCharge condensateur; bascule vers RLC; bobine et régime permanent.

Bac 2020 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (R, L, C détermination)attestéDétermination expérimentale de R, L, C; tensions bobine/condensateur.

Bac 2021 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (RC/RL identification)attestéTrois dipôles: condensateur, bobine, résistance; charge et auto-induction.

Bac 2023 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (RL puis RLC forcé)attestéÉtablissement courant; insertion condensateur; régime forcé.

Bac 2024 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (RL puis condensateur)attestéBobine r, condensateur C; charge; loi des mailles.

Bac 2025 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (dipôles RC / RL / régime forcé)probableIdentification condensateur/bobine; charge RC; régime oscillatoire/forcé avec oscilloscope et tensions efficaces.