OD-AOndes mécaniques

Onde progressive le long d'une corde : célérité, retard et équation horaire

Idée directrice

La trajectoire de cet exercice est toujours la même : on mesure (ou on lit graphiquement) le retard temporel $\tau$ entre deux points de la corde, on en déduit la célérité $v = d/\tau$ , puis on traduit le retard en déphasage pour écrire $y_M(t) = y_S(t-\tau)$ . La représentation spatiale et la représentation temporelle sont les deux « photographies » complémentaires d'une même vibration.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Déterminer la célérité de l'onde » ; « Écrire l'équation horaire du point $M$ » ; « Représenter l'allure de la corde à l'instant $t_0$ »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsCorrigé masqué

Une corde homogène tendue horizontalement vibre sous l'action d'un vibreur $S$ . Deux points $A$ et $B$ de la corde, distants de $d = 60\text{ cm}$ , sont tels que $B$ est situé après $A$ dans le sens de propagation. On observe que $B$ est en retard d'une durée $\tau = 15\text{ ms}$ par rapport à $A$ .

L'équation horaire du point $A$ est :

y_A(t) = 4{,}0\times 10^{-2}\,\sin\!\left(40\pi t\right)\quad (\text{SI})

Déterminer la célérité $v$ de l'onde le long de la corde.
Déterminer la période $T$ et la longueur d'onde $\lambda$ .
Écrire l'équation horaire $y_B(t)$ du point $B$ .
On désigne par $M$ un point quelconque de la corde situé à la distance $x$ du vibreur $S$ ( $0 \le x \le d$ ).
1. Exprimer l'équation horaire $y_M(t)$ en fonction de $x$ , $v$ et $t$ .
2. Tracer l'allure de la corde (représentation spatiale) à l'instant $t_0 = 0$ pour $0 \le x \le \lambda$ .

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1. Idée : la célérité relie distance et retard temporel.

v = \frac{d}{\tau} = \frac{0{,}60\text{ m}}{15\times 10^{-3}\text{ s}} = \boxed{40\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

2. *Idée : lire la pulsation dans l'équation horaire pour retrouver $T$ , puis $\lambda = vT$ .*
On lit $\omega = 40\pi\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}$ , donc

T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{40\pi} = \boxed{50\text{ ms}}

\lambda = vT = 40\times 50\times 10^{-3} = \boxed{2{,}0\text{ m}}

3. *Idée : $B$ est en retard de $\tau$ sur $A$ , donc on substitue $t \to t-\tau$ .*

y_B(t) = 4{,}0\times 10^{-2}\,\sin\!\left(40\pi (t-\tau)\right) = 4{,}0\times 10^{-2}\,\sin\!\left(40\pi t - 0{,}6\pi\right)\quad (\text{SI})

4.(a) *Idée : $M$ est à la distance $x$ de $S$ , son retard sur $S$ est $x/v$ .*

y_M(t) = 4{,}0\times 10^{-2}\,\sin\!\left(40\pi\!\left(t-\frac{x}{v}\right)\right) = 4{,}0\times 10^{-2}\,\sin\!\left(40\pi t - \frac{2\pi x}{\lambda}\right)\quad (\text{SI})

4.(b) *Idée : à $t_0=0$ , $y_M(0) = 4{,}0\times10^{-2}\sin(-2\pi x/\lambda)$ . En $x=0$ : $y=0$ , en $x=\lambda/4$ : $y=-A$ , en $x=\lambda/2$ : $y=0$ , en $x=\lambda$ : $y=0$ . On obtient une sinusoïde de longueur d'onde $\lambda = 2{,}0\text{ m}$ .*

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill OD-A.1 — longueur d'onde

1 questionCorrigé masqué

Une onde progressive sinusoïdale de fréquence $N=50\text{ Hz}$ se propage à $v=20\text{ m/s}$ . Calculer $\lambda$ .

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$\lambda=\dfrac vN=\dfrac{20}{50}=\boxed{0{,}40\text{ m}}$ .

Entraînement 02 / 02

Drill OD-A.3 — transversale vs longitudinale

1 questionCorrigé masqué

Distinguer une onde transversale et une onde longitudinale, avec un exemple de chaque.

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Transversale : déformation $\perp$ à la propagation (onde sur une corde). Longitudinale : déformation $\parallel$ à la propagation (onde sonore/compression d'un ressort). $\boxed{\perp\text{ vs }\parallel}$ .

Méthode / Automatismes

Toujours poser $\tau = d/v$ ; ne jamais confondre retard temporel $\tau$ (en s) et déphasage $\varphi = 2\pi\tau/T$ (en rad).
Lire $\omega$ directement dans l'équation horaire donnée, pas dans la figure.
Pour $y_M$ , remplacer $t$ par $(t - x/v)$ dans l'équation de la source : la formule générale $y_M(t) = A\sin(\omega t - 2\pi x/\lambda)$ s'en déduit immédiatement.
Vérifier la cohérence des unités : $[v] = \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , $[\lambda]= \text{m}$ , $[\tau]=\text{s}$ .

Pièges classiques

Confondre la représentation temporelle (ordonnée en fonction de $t$ , pour un $x$ fixé) et la représentation spatiale (ordonnée en fonction de $x$ , à $t$ fixé). À l'instant $t_0=0$ et pour une source sinusoïdale, la corde a la forme $\sin(-2\pi x/\lambda)$ , ce qui place le premier creux avant le premier zéro vers les $x$ positifs — sens qu'il ne faut pas inverser.

Variantes rencontrées : la source est décrite par une représentation graphique $y_S(t)$ plutôt que par une formule ; on demande de vérifier qu'un point $C$ est un nœud ou un ventre d'une onde stationnaire ; on fournit deux représentations (temporelle et spatiale) et on demande de retrouver $v$ par identification.

Où ce scénario est tombé

Bac 2018 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 2 (cuve à ondes)attestéOnde progressive sinusoïdale en cuve; longueur d’onde, stroboscopie.

Bac 2022 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 2 (ondes à la surface de l'eau)attestéOnde mécanique périodique en surface; élongations; célérité; lien ondes lumineuses.

Bac 2023 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 2 (onde surface)attestéOnde mécanique surface; longueur d’onde.

Bac 2025 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 2 (ondes à la surface de l'eau)attestéOnde mécanique rectiligne en cuve; célérité par zone de profondeur; changement de direction / réfraction.