AT-APhysique atomique

Quantification de l'énergie et niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène

Idée directrice

La trajectoire de cet exercice est de partir du modèle de Bohr pour justifier que l'énergie de l'électron ne peut prendre que des valeurs discrètes $E_n = -13{,}6/n^2$ eV, de calculer les énergies de plusieurs niveaux, de définir l'ionisation ( $n \to \infty$ , $E_{\text{ion}} = 13{,}6\text{ eV}$ ) et d'interpréter les transitions : un photon absorbé fait monter l'électron (excitation), un photon émis fait descendre l'électron (désexcitation).

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer les énergies des niveaux $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ » ; « Définir l'énergie d'ionisation » ; « Un atome d'hydrogène se trouve au niveau $n=2$ , quelle énergie est nécessaire pour l'ioniser ? » ; « Vérifier que le photon peut être absorbé »

Sujet principal

Exercice — Niveaux d'énergie et ionisation de l'atome d'hydrogène

5 questionsCorrigé masqué

Dans le modèle de Bohr, l'énergie de l'atome d'hydrogène au niveau $n$ est :

E_n = -\frac{13{,}6}{n^2} \text{ eV} \quad (n \in \mathbb{N}^*)

Données : $1\text{ eV} = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ J}$ ; constante de Planck $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$ ; vitesse de la lumière $c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ .

Calculer les énergies $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ et $E_4$ en eV et en joules. Présenter les résultats dans un tableau.
Définir l'état fondamental et l'état excité d'un atome. Quel est le niveau fondamental de l'hydrogène ?
Définir l'énergie d'ionisation $E_i$ de l'atome d'hydrogène dans l'état fondamental. Calculer $E_i$ en eV puis en joules.
Un atome d'hydrogène se trouve au niveau $n = 2$ .
1. Quelle est l'énergie minimale (en eV) nécessaire pour ioniser cet atome depuis $n=2$ ?
2. Un photon d'énergie $E_{\text{ph}} = 2{,}55\text{ eV}$ est incident sur cet atome. Vérifier que ce photon peut être absorbé. Identifier le niveau final atteint.
Expliquer pourquoi un atome d'hydrogène ne peut absorber qu'un photon dont l'énergie correspond exactement à la différence entre deux niveaux. Quel est le rôle de la quantification ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. *Idée : substituer $n$ dans la formule et convertir.*

E_1 = \frac{-13{,}6}{1^2} = -13{,}6\text{ eV} = -2{,}18\times10^{-18}\text{ J}

E_2 = \frac{-13{,}6}{4} = -3{,}40\text{ eV} = -5{,}44\times10^{-19}\text{ J}

E_3 = \frac{-13{,}6}{9} \approx -1{,}51\text{ eV} = -2{,}42\times10^{-19}\text{ J}

E_4 = \frac{-13{,}6}{16} = -0{,}85\text{ eV} = -1{,}36\times10^{-19}\text{ J}

2. Idée : définitions fondamentales.
L'état fondamental est l'état de plus basse énergie ( $n=1$ , $E_1 = -13{,}6\text{ eV}$ ). Un état excité correspond à $n \geq 2$ : l'atome possède une énergie supérieure à l'état fondamental.

3. *Idée : ionisation = arracher l'électron, soit amener l'atome à $E_{\infty} = 0$ .*

E_i = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13{,}6) = \boxed{13{,}6\text{ eV}} = 2{,}18\times10^{-18}\text{ J}

4.(a) *Idée : ioniser depuis $n=2$ .*

E_i(n=2) = 0 - E_2 = 0 - (-3{,}40) = \boxed{3{,}40\text{ eV}}

4.(b) *Idée : le photon est absorbé si son énergie correspond à $\Delta E = E_{n_f} - E_{n_i}$ .*
$E_{\text{ph}} = 2{,}55\text{ eV}$ . Niveau final possible :
$E_{n_f} = E_2 + E_{\text{ph}} = -3{,}40 + 2{,}55 = -0{,}85\text{ eV} = E_4$ .
Donc $n_f = 4$ : l'atome passe de $n=2$ à $\boxed{n=4}$ .

5. Idée : la quantification impose des niveaux discrets.
L'atome ne peut absorber qu'un photon dont l'énergie est exactement $\Delta E = E_{n_f} - E_{n_i}$ ( $\Delta E > 0$ ). Si $E_{\text{ph}} \neq \Delta E$ , le photon traverse l'atome sans interaction. C'est la quantification de l'énergie qui impose cette sélectivité.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill AT-A.1 — transition et raie d'émission

1 questionCorrigé masqué

Un atome passe d'un niveau $E_2=-3{,}4\text{ eV}$ à $E_1=-13{,}6\text{ eV}$ . Calculer la longueur d'onde du photon émis.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

$\Delta E=E_2-E_1=10{,}2\text{ eV}=1{,}63\times10^{-18}\text{ J}$ . $\lambda=\dfrac{hc}{\Delta E}=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}\times3{,}0\times10^8}{1{,}63\times10^{-18}}=\boxed{1{,}2\times10^{-7}\text{ m}}$ (UV, raie de Lyman).

Entraînement 02 / 02

Drill AT-A.2 — énergie d'ionisation

1 questionCorrigé masqué

L'atome d'hydrogène a un niveau fondamental $E_1=-13{,}6\text{ eV}$ . Quelle est son énergie d'ionisation depuis le fondamental ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Ioniser = amener l'électron à $E_\infty=0$ : $E_i=0-E_1=13{,}6\text{ eV}$ . $\boxed{13{,}6\text{ eV}}$ .

Méthode / Automatismes

La formule $E_n = -13{,}6/n^2\text{ eV}$ est à connaître par cœur pour l'hydrogène.
L'énergie d'ionisation depuis le niveau $n$ vaut $|E_n|$ (car $E_{\infty} = 0$ ).
Pour une absorption, le niveau final $n_f > n_i$ et $E_{\text{ph}} = E_{n_f} - E_{n_i} > 0$ .
Vérifier que le niveau atteint est un entier : si $E_{n_f}$ calculé ne correspond à aucun $E_n$ , le photon n'est pas absorbé.
Convertir systématiquement eV $\leftrightarrow$ joules en multipliant/divisant par $1{,}6\times10^{-19}$ .

Pièges classiques

Piège classique : calculer l'énergie d'ionisation en prenant $E_i = E_1 = -13{,}6\text{ eV}$ (valeur négative) au lieu de $|E_1| = +13{,}6\text{ eV}$ . L'énergie d'ionisation est toujours positive. Autre piège : chercher le niveau final en posant $E_{\text{ph}} = E_{n_i} - E_{n_f}$ (signe inversé, ce qui correspond à une émission, pas à une absorption).

Variantes rencontrées : Calcul de l'énergie d'ionisation d'un ion hydrogénoïde ( $\text{He}^+$ , $\text{Li}^{2+}$ ) avec $E_n = -Z^2 \times 13{,}6 / n^2$ ; détermination du niveau $n$ à partir d'une longueur d'onde donnée.

Où ce scénario est tombé

Bac 2019 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 2 (atome / Bohr)attestéNiveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène (Bohr); état fondamental et ionisé.

Bac 2024 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 3 (document atomique/lumière)attestéAbsorption photon / niveaux atomiques; longueurs d’onde.