RA-IAlgorithmes récurrents et arithmétiques

Succèsseurs et conversions entre bases 2, 8, 10, 16

Idée directrice

Manipuler les bases 2, 8 et 16 : successeur d'un littéral (sans re-convertir tout en décimal si possible) et conversion octal→décimal, décimal→hexadécimal.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« successeur de chaque nombre »

« (24) 8 = … 10 »

« (27) 10 = … 16 »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets d'informatique

3 questionsCorrigé masqué

Chiffres et bases (esprit i-c3-01) : on travaille en binaire, octal et hexadécimal.

Donner le successeur de $(1111)_2$ , $(767)_8$ , $(\mathrm{AF})_{16}$ et $(\mathrm{BFF})_{16}$ (écriture dans la même base).
Convertir $(24)_8$ en base 10.
Convertir $(27)_{10}$ en base 16 (hexadécimal).

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Successeurs.
- $(1111)_2+1=(10000)_2$
- $(767)_8+1=(770)_8$
- $(\mathrm{AF})_{16}+1=(\mathrm{B0})_{16}$
- $(\mathrm{BFF})_{16}+1=(\mathrm{C00})_{16}$

(retenues comme en addition dans chaque base).

2. $(24)_8=2\times 8+4=\mathbf{20}_{10}$ .

3. $27=1\times 16+11$ ⇒ $(27)_{10}=(\mathrm{1B})_{16}$ (bit/chiffre hex $\mathrm{B}=11$ ).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill RA-I.1 — (1111)₂ + 1

1 questionCorrigé masqué

Sans passer par la base 10, calculez le successeur de $(1111)_2$ et expliquez la retenue binaire (chaque bit 1 + retenue) en une phrase. Situez l'item dans le devoir i-c3-01.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

$(1111)_2+1=(10000)_2$ : chaque bit valant 1 additionné à la retenue produit 0 et propage la retenue, d'où un 1 suivi de quatre 0. C'est le même type d'item que le devoir i-c3-01 (« successeur … $(1111)_2$ ») en conversion/arithmétique de base 2.

Méthode / Automatismes

Successeur : additionner 1 avec retenues dans la base d'origine.
Octal→décimal : $\sum d_k 8^k$ ; décimal→hex : divisions successives par 16.

Pièges classiques

Traiter 8 ou 9 comme chiffres octaux valides ; oublier que $\mathrm{A}=10$ , $\mathrm{F}=15$ .