Exercice — valider des propositions sur cinq algorithmes arithmétiques
On considère cinq algorithmes F1 à F5 opérant sur deux entiers `a` et `b` strictement positifs, donnés en base décimale :
- F1 — accumule `a`, `b` fois (produit par additions répétées).
- F2 — multiplie `a` par lui-même `b` fois.
- F3 — additionne tous les entiers de l'intervalle `[a..b]`.
- F4 — calcule le plus grand diviseur commun par soustractions successives.
- F5 — calcule le plus grand diviseur commun par restes successifs (méthode d'Euclide).
Valider chacune des propositions suivantes en mettant V si elle est correcte ou F si elle est fausse :
- Pour obtenir le produit `a × b`, on peut utiliser F1.
- Pour obtenir `a` multiplié par lui-même `b` fois, on peut utiliser F2.
- Pour obtenir le plus grand diviseur commun de `a` et `b`, on peut utiliser F4 et F5.
- Pour obtenir la somme des entiers de `[a..b]`, on peut utiliser F3.
- Pour obtenir le produit `a × b`, on peut utiliser F5 (Euclide).
Justifier en une ou deux phrases le verdict de la proposition c) en reliant F4/F5 à l'algorithme d'Euclide.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche
Pour cet exercice, seules les réponses V / F (ou Vrai / Faux) sont attendues sur la grille, plus une courte justification pour c).
| Proposition | Verdict |
|---|---|
| a) produit via F1 | V |
| b) multiplications répétées via F2 | V |
| c) plus grand diviseur commun via F4 et F5 | V |
| d) somme de `[a..b]` via F3 | V |
| e) produit via F5 (Euclide) | F |
Justification de c). F4 (soustractions) et F5 (restes, méthode d'Euclide) calculent tous deux le plus grand diviseur commun de `a` et `b`. Ce n'est pas un produit ni une somme : la proposition e) est donc fausse. La décomposition en facteurs premiers n'est pas demandée ici ; elle n'est utile que si l'on reconstruit le PGCD à partir des facteurs, ce que F4/F5 ne font pas explicitement.
Lecture rapide des rôles : F1 ↔ produit ; F2 ↔ multiplications répétées ; F3 ↔ somme d'intervalle ; F4/F5 ↔ diviseur commun (Euclide / variante).