Torsion d’arbre — diamètre minimal et sécurité

Pour $M_t=24\,\mathrm{N\cdot m}$ et $d=16\,\mathrm{mm}$, calculer $\tau_{\max}$ en $\mathrm{N/mm^2}$ et comparer à $30\,\mathrm{N/mm^2}$.

Si $s$ passe de $2$ à $3$ à $C$ et $R_{eg}$ fixés, le diamètre minimal $d$ varie comme quelle puissance de $s$ ?

Un arbre plein cylindrique est sollicité en torsion simple par un couple $M_t=48\,\mathrm{N\cdot m}$. La contrainte tangentielle admissible en surface vaut $\tau_{\max}=40\,\mathrm{N/mm^2}$.

1. Rappeler la relation $\tau_{\max}=\dfrac{16 M_t}{\pi d^3}$ en précisant les unités de $M_t$ et de $d$ (souvent $\mathrm{N\cdot mm}$ et $\mathrm{mm}$).
2. Calculer le diamètre minimal $d$ en $\mathrm{mm}$ (arrondir à l’entier supérieur).
3. Si le dessin d’ensemble indique un diamètre réel de $22\,\mathrm{mm}$, le choix constructeur est-il convenable ? Justifier.

Un arbre plein de diamètre $d=20\,\mathrm{mm}$ transmet un couple de torsion $M_t=36\,\mathrm{N\cdot m}$. On travaille en torsion simple.

1. Exprimer $\tau_{\max}$ en fonction de $M_t$ et $d$.
2. Calculer $\tau_{\max}$ en $\mathrm{N/mm^2}$.
3. Comparer à une limite admissible $\tau_{\mathrm{adm}}=30\,\mathrm{N/mm^2}$ : l’arbre résiste-t-il ?

Un arbre de transmission reçoit un couple $C=100\,\mathrm{N\cdot m}$. Le matériau a une limite élastique au glissement $R_{eg}=175\,\mathrm{N/mm^2}$. On impose un coefficient de sécurité $s=2{,}5$.

1. Calculer la résistance pratique au glissement $R_{pg}=R_{eg}/s$.
2. En écrivant $\tau_{\max}=\dfrac{16 C}{\pi d^3}\le R_{pg}$, calculer $d_{1\min}$ en $\mathrm{mm}$.
3. Si l’on passe à $s=2$ (même $C$ et $R_{eg}$), $d_{1\min}$ augmente-t-il, diminue-t-il ou reste-t-il inchangé ? Justifier via $d\propto s^{1/3}$.

Un arbre plein transmet $C_{30}=120\,\mathrm{N\cdot m}$. Module d’élasticité transversale $G=8\times 10^{4}\,\mathrm{N/mm^2}$. On impose que l’angle unitaire de torsion $\theta$ ne dépasse pas $\theta_{\max}=6{,}97\times 10^{-5}\,\mathrm{rad/mm}$.

1. Rappeler que pour un arbre plein $\theta=\dfrac{C}{G I_0}$ avec $I_0=\dfrac{\pi d^4}{32}$.
2. En déduire $d_{2\min}$ tel que $\theta\le\theta_{\max}$ (en $\mathrm{mm}$).
3. Comparer : le critère de rigidité en torsion est-il ici plus sévère qu’un $d_{1\min}\approx 19\,\mathrm{mm}$ obtenu par contrainte ?

Pour un même arbre, le calcul de résistance en contrainte a donné $d_{1\min}=19{,}11\,\mathrm{mm}$ et le calcul de rigidité (angle unitaire) a donné $d_{2\min}=21{,}63\,\mathrm{mm}$.

1. Quel diamètre minimal $d_{\min}$ doit-on retenir pour satisfaire les deux conditions ?
2. Justifier en une phrase le sens de « prendre le supremum » des deux valeurs.
3. Si le dessin d’ensemble propose $d=25\,\mathrm{mm}$, conclure sur la conformité.

On applique $\tau_{\max}=\dfrac{16 M_t}{\pi d^3}$ avec $M_t=24\,\mathrm{N\cdot m}$ et $\tau_{\max}=30\,\mathrm{N/mm^2}$. Un élève oublie le facteur $10^3$ et calcule $d=\bigl(16\times 24/(\pi\times 30)\bigr)^{1/3}$.

1. Montrer que ce calcul sans conversion est incohérent en unités.
2. Refaire le calcul correct avec $M_t=24\times 10^3\,\mathrm{N\cdot mm}$ et retrouver $d\approx 16\,\mathrm{mm}$.
3. Quel ordre de grandeur absurde obtient-on sans le $10^3$ ?

En torsion simple d’un arbre cylindrique plein, la contrainte tangentielle $\tau$ varie linéairement selon le rayon : nulle au centre, maximale en surface.

1. Où se produit $\tau_{\max}$ : centre, rayon intermédiaire, ou surface extérieure ?
2. Pourquoi le diamètre $d$ apparaît-il à la puissance $3$ dans $\tau_{\max}=16 M_t/(\pi d^3)$ ?
3. Si l’on double $d$ à $M_t$ constant, par quel facteur $\tau_{\max}$ est-elle divisée ?